Cette section regroupe les animations pédagogiques du cours de Mécanique Vibratoire enseigné en 3e année
en école d'ingénieur. La philosophie pédagogique adoptée est celle du « cas avant la théorie » : chaque concept
est introduit par un retour d'expérience documenté de la profession, et seulement ensuite la formulation théorique.
Vingt-cinq modules structurés en 5 blocs : hooks historiques (Broughton, Tacoma, Volgograd, Millennium),
concepts fondamentaux (oscillateur 1 DDL, SDOF, FRF, TMD Den Hartog, Rayleigh, Duhamel, N-DDL), cas pratiques de TD
(portique R+1, bâtiment LGV, passerelle Sétra), recherche (DYNATTB, CEVA), et cas d'application
(Tour Eiffel, pont roulant, château d'eau, machine tournante, isolateurs sismiques, résonance ferroviaire, planchers mixtes bois-béton, haubans pluie-vent, flottement de tablier, entrechoquement sismique, TLD).
Appréhender les systèmes vibratoires courants ; calculer analytiquement les fréquences propres ;
comprendre l'amortissement ; reconnaître les cas-types (résonance, instabilité aéroélastique, lock-in, synchronisation) ;
pré-dimensionner un TMD ou plot d'isolation ; évaluer le confort vibratoire au regard des normes (ISO 2631, SCI P354, AISC DG11, Sétra 2006, DIN 4150).
Évaluation
Contrôle terminal écrit, 2 h
Bloc 1 — Hooks d'ouverture historiques
Cas historiques documentés présentés en début de CM1 et CM2 pour ancrer
intuitivement les concepts théoriques qui suivent.
Hook 1
Trois mécanismes vibratoires distincts
Animation comparée côte à côte de Broughton 1831 (résonance forcée par marche militaire),
Tacoma Narrows 1940 (flottement aéroélastique) et Volgograd 2010 (lock-in tourbillonnaire).
Différenciation visuelle de la loi de croissance : linéaire / exponentielle / cycle limite.
Tableau de synthèse pour distinguer les trois familles d'instabilité.
Vue de dessus du Millennium Bridge avec N piétons stylisés. Indice de synchronisation R de Kuramoto qui croît
au-delà d'un seuil d'amplitude. Bifurcation au-delà de Ncrit ≈ 166. Démontre la nécessité du formalisme 2 DDL
(couplage piétons-structure) que ne capture pas le SDOF de Broughton.
Référence : Dallard et al. (2001) The Structural Engineer.
Outils théoriques du cours, présentés avec une approche expérimentale
(smartphone PhyPhox) et illustrative.
Concept 0
Oscillateur élémentaire à 1 DDL
Module fondateur : la masse-ressort-amortisseur lâchée de sa position (vibration libre) et soumise à une
excitation harmonique (résonance). Introduit les paramètres réduits ω0, ζ, les trois régimes
(sous-amorti / critique / sur-amorti) et le facteur d'amplification H(r) avec son pic à rpic = √(1−2ζ²).
Brique réutilisée par tous les modules suivants.
Socle des Concepts 1 (décrément) et 2 (FRF). Version interactive autonome également disponible.
Maquette de portique virtuel avec smartphone collé en tête. Lâcher numérique → signal accéléromètre bruité → extraction
de ξ par régression linéaire sur ln(yn). Protocole expérimental complet PhyPhox à reproduire en TP (l'application sera approfondie dans le module Traitement du signal).
Démontre l'origine physique de la formule δ = 2πξ et de la dérive en fonction du bruit accéléromètre (~5 mg MEMS).
Application : TP en présentiel + diagnostic in-situ Annemasse-Genève.
Sweep interactif en fréquence d'excitation Ω. Visualisation simultanée du mouvement de la masse, du module
|H(β)| et de la phase φ(β). Trois régimes mis en évidence : quasi-statique (en phase), résonance (quadrature, Q=1/2ξ),
inertiel (opposition). Famille de courbes pour ξ = 2 %, 5 %, 10 %, 20 %, 50 %.
Outil universel mobilisé en TD2, TD3, et toute l'isolation vibratoire.
Animations illustrant trois situations de TD typiques pour permettre aux étudiants
de jouer avec les paramètres avant et après la séance.
Cas 1
Portique R+1 — encastré vs articulé
Deux portiques côte à côte (même profil HEA, même m) avec hypothèses de pied différentes : encastré vs articulé.
Démonstration visuelle du ratio des raideurs = 4 (12/3) et des fréquences = 2. FRF des deux pour
identifier le piège quand l'excitation tombe entre fn,art et fn,enc.
Bâtiment résidentiel sur ressorts au-dessus d'une LGV
Schéma du bâtiment isolé sur boîtes à ressorts au-dessus d'un tunnel ferroviaire. Animation du passage de train.
Piège du mode interne mis en évidence : si fplancher ≈ ftrain, l'isolation
devient inopérante voire amplificatrice. Comparaison SDOF rigide vs 2 DDL réel.
Issu de TD3 (situation #2). Cas Hyperion Bordeaux, Confluence Lyon.
Passerelle bois lamellé-collé avec piétons stylisés. Décomposition de la marche en 3 harmoniques (1,8 / 3,6 / 5,4 Hz).
Identification automatique de la plage Sétra (1 à 4 selon fv). Calcul d'amax et verdict
gradué selon classes de confort CL1 / CL2 / CL3.
Issu de TD2 (situation #2). Cas Mimram Toulouse, Senghor Paris.
Silhouettes comparées de six immeubles de grande hauteur en bois (Mjøstårnet, Treet, HoHo Wien, Hyperion, Wood'Up, Ascent).
Pour chacun : f1, ξ mesuré, système porteur. Trois méthodes d'identification commutables :
décrément logarithmique, demi-puissance, OMA-FDD. Comparaison ξ mesuré vs EC1 Annexe F.
Démonstration de la non-linéarité d'amortissement avec l'amplitude propre aux IGH bois.
Programme européen DYNATTB 2019-2022 (ForestValue ERA-NET). Référence pour CM2.
Ligne Annemasse-Genève (CEVA) — diagnostic complet
Coupe transversale animée (tunnel TBM, propagation, bâtiment riverain). Mesures KB(t) et bruit solidien Lp,A(t) en pied de bâtiment.
Spectre 1/3 octave avec seuils DIN 4150-2 et NF S31-085. Comparaison de quatre solutions de mitigation :
① tapis sous-ballast, ② barrière dans le sol, ③ bâtiment sur ressorts, ④ raidissement plancher.
Coût indicatif, cadre juridique FR/CH (Code env. art. R571, OPB suisse).
Cas d'école CEVA 2019. Présenté en CM1 (mesures in-situ).
Extension du SDOF aux systèmes plus complexes : poutres continues (Tour Eiffel),
méthode énergétique de Rayleigh, et systèmes multi-DDL (bâtiments multi-étages).
Approximation de la fréquence fondamentale par déformée approchée (statique sous poids propre).
Quotient de Rayleigh : ω² = ∫EI(φ'')²dz / ∫μφ²dz. Comparaison 4 formes de déformée (cubique, parabolique,
sinus, linéaire) → erreur typique 0,5-5 %. Outil de prédimensionnement indispensable en BE.
Lord Rayleigh (1877). Base théorique des méthodes d'éléments finis (Galerkin). T₁ Tour Eiffel = 3 s prédit en 1885 vs 3,12 s mesuré.
Modélisation bâtiment R+N en cisaillement : N degrés de liberté, N modes propres. Matrices [M] et [K]
tridiagonale. Résolution problème aux valeurs propres ([K]-ω²[M])φ = 0 par méthode de Jacobi.
Visualisation des modes, masses participantes, et cas critique « soft story » (étage souple RDC).
Application directe en analyse modale parasismique EC8 §4.3.3.3. Préparation aux logiciels EF (Robot, ETABS).
Calcul de la réponse d'un SDOF à une excitation transitoire (choc, échelon, rampe, sismique).
Intégrale de Duhamel : x(t) = ∫F(τ)·h(t-τ)dτ. Implémentation numérique Newmark β=1/4.
Concept de facteur d'amplification dynamique (DAF, jusqu'à 2 pour échelon).
Base de la méthode du spectre de réponse EC8. Méthodes numériques modernes : Newmark, Wilson-θ, HHT-α.
Bloc 5 — Cas pratiques d'application (ouvrages spécifiques, ponts, planchers)
Dix cas pratiques pour appliquer les concepts aux ouvrages spécifiques :
pont roulant, château d'eau, machine tournante, isolation parasismique, résonance des ponts ferroviaires, planchers mixtes bois-béton, haubans pluie-vent, flottement de tablier, entrechoquement sismique et amortisseur à liquide accordé.
Cas 7
Pont roulant — fréquence propre selon position de la charge
Poutre de roulement avec chariot mobile (5-200 t). Fréquence f₁(x) variable selon position
(minimale à mi-portée). Critère EN 1993-6 : f₁ ≥ 3 Hz (cabine 5 Hz). Vérification δ ≤ L/600.
Coefficients γ_dyn levage, démarrage, freinage. Animation chariot.
Cas industriel : ateliers maintenance, aciérie, port. Application directe Concept 1 SDOF avec K(x) variable.
Modèle Housner (1957) : décomposition masse d'eau en masse impulsive M_i (rigide) +
masse convective M_c (sloshing). Deux modes : f_pendulaire (fût + M rigide) et f_sloshing
(oscillation eau). Sensibilité au remplissage et au ratio h_w/R. EC8 §6 réservoirs.
Cas de défaillance Anchorage 1964, Northridge 1994, Le Teil 2019. Standard EC8 §6 pour réservoirs.
Rotor déséquilibré (m_e·e) à vitesse Ω → force centrifuge F = m_e·e·Ω². Transmissibilité T(β)
au sol selon isolation : aucune / caoutchouc / ressorts / pneumatique. Règle d'or : β = Ω/ω_n ≥ 3
pour T ≤ 12 % (efficacité 88 %). Grades ISO 1940 (G 0,4 à G 100).
Cas typique presses, ventilateurs, compresseurs. Standards VDI 2057, ISO 10137. Plots Trelleborg, Vibrachoc, GERB.
Isolation à la base : décaler T de 1 s à 3-5 s pour réduire S_a(T). Comparaison HDRB
(caoutchouc), LRB (avec noyau plomb), FPS (friction pendulum), TFP (triple FP).
Gain typique 70-90 % sur l'effort sismique. Standards EC8 §10, ASCE 7-16, TBDY 2018.
Apple Park 2017, Sabiha Gökçen, Hôpital Saint-Louis Marseille 2022. Apparition années 1980.
Le train comme série périodique d'essieux espacés de D. Apparition des vitesses critiques
Vcrit,n = f1·D/n : chaque essieu pompe le tablier en phase → résonance. Balayage de la vitesse,
courbe amax(V), critère EN 1990 A2.4.4 (3,5 m/s² voie ballastée), bouton TMD en travée.
Travées courtes (L < 40 m) les plus sensibles.
Modèle HSLM (EN 1991-2), ERRI D214. Viaduc de la Savoureuse (LGV Rhin-Rhône).
Dalle béton + solivage/CLT reliés par connecteurs. Toute la performance tient dans la raideur de connexion :
calcul de (EI)eff par la méthode γ de l'EC5 (annexe B), fréquence f1, critères de vibration
EN 1995-1-1 §7.3.3 (raideur w, vitesse impulsionnelle v). L'action mixte relève f1 au-dessus du seuil
de 8 Hz, sortant du domaine de résonance de la marche.
Construction bois moderne (TCC). Lien avec le Cas 4 (DYNATTB) et le RDM plancher mixte.
Par temps de pluie, un filet d'eau sur la face supérieure du câble modifie sa section et crée un
amortissement aérodynamique négatif : galop à vent faible (8-15 m/s), amplitudes métriques.
Rôle décisif du nombre de Scruton Sc = mδ/ρD² (règle Sc ≥ 10) et des amortisseurs d'ancrage.
Fenêtre d'instabilité, cycle limite, boutons pluie / amortisseur.
Erasmus Bridge (Rotterdam 1996), Pont de Normandie, Meikonishi (Hikami 1988). EN 1991-1-4, CIP/SETRA.
L'instabilité qui a détruit Tacoma (1940). Au-delà d'une vitesse critique, les modes de flexion et de torsion
se couplent et l'oscillation diverge. Estimation par la formule de Selberg, courbe Ucrit(ε),
réponse couplée h/α. Préréglages Tacoma / caisson profilé / Akashi-Kaikyō : même physique, vitesses critiques
de 16 à 80 m/s selon le profil de section.
Tacoma Narrows (1940), Great Belt (1998), Akashi-Kaikyō (1998). Theodorsen, Scanlan, Selberg ; EN 1991-1-4 ann. E.
Deux bâtiments de périodes différentes oscillent en déphasage et s'entrechoquent si le joint est
insuffisant : chocs impulsifs, source majeure d'effondrements à Mexico 1985. Deux oscillateurs couplés par
contact, comptage des chocs et force d'impact, confrontés au joint minimal EC8 Δ ≥ √(d₁²+d₂²).
Préréglage Mexico, bouton « joint EC8 ».
Mexico 1985 (Rosenblueth & Meli), Loma Prieta, Northridge. EN 1998-1 §4.4.2.7.
Un réservoir d'eau en tête de tour : le ballottement agit comme un TMD. La masse active est la
masse convective de Housner, et l'accord se fait en réglant la hauteur d'eau. Synthèse du
Cas 8 (sloshing) et du Concept 3 (Den Hartog) :
FRF à pics jumeaux, courbe d'accord f_s(h).
Nagasaki (1987), Comcast Center, One Rincon Hill. Recherche Fujino, Sun, Tamura.
CM1 — Systèmes 1 DDL : Hook 1 (les 3 mécanismes) ouvre le CM. Concept 1 (décrément log + smartphone) accompagne
la démo en présentiel. Concept 2 (FRF) constitue la matière théorique du chapitre.
CM2 — Systèmes 2 DDL et continus : Hook 2 (Millennium Bridge) ouvre le CM. Concept 3 (TMD Den Hartog) constitue le coeur du chapitre.
TD1 — Réponse 1 DDL sans amortissement : Cas 1 (portique encastré/articulé) illustre la situation #1 du TD.
TD2 — Réponse 1 DDL avec amortissement : Cas 3 (passerelle Sétra) illustre la situation #2 du TD.
Pour la situation #1 (plot d'isolation sous presse rotative), le module Concept 2 (FRF + transmissibilité) constitue
la base théorique.
TD3 — Systèmes 2 DDL : Cas 2 (bâtiment sur ressorts LGV) illustre la situation #2 du TD.
Concept 3 (TMD Den Hartog) couvre la situation #3 du TD.
Évaluation : les animations ne sont pas autorisées en contrôle terminal. Elles servent uniquement à
fixer les ordres de grandeur, à reconnaître les régimes, et à anticiper les pièges classiques en revue.
Bloc 4 (approfondissement) : Cas 6 Tour Eiffel introduit
les systèmes continus avec leurs modes propres multiples. Concept 4 Rayleigh
fournit la méthode énergétique de prédimensionnement, indispensable en BE. Concept 6 N-DDL
fait le pont entre SDOF et système continu via le bâtiment R+N. Concept 5 Duhamel
introduit la réponse temporelle aux excitations transitoires.
• 432 Park Avenue — tour ultra-élancée avec TMD
• Pile de pont sous VIV (Strouhal — déjà partiellement dans rubrique Vent)
• Aéroélasticité — flottement profil d'aile et tablier de pont
• TLD (Tuned Liquid Damper) — amortisseur liquide pour IGH
• Vibrations véhicule — pneu + suspension + caisse (système 4 DDL)
• Méthode des éléments finis (Galerkin) — équivalent matriciel Rayleigh