Concept 6 — Système N-DDL : bâtiment multi-étages et modes propres

Modélisation — bâtiment en cisaillement (« shear building »). Hypothèses :

① Les planchers sont rigides en rotation (pas de flexion globale du bâtiment)
② Les poteaux sont en flexion seulement (cisaillement entre niveaux)
③ Chaque étage = 1 DDL horizontal (translation latérale)
④ Masses concentrées au niveau des planchers

Limites : valide pour bâti R+1 à R+8 régulier ; au-delà la flexion globale
du bâtiment devient significative → modèle continu (Euler-Bernoulli) plus pertinent.

Équations du mouvement — système N-DDL :

[M] · {ẍ} + [C] · {ẋ} + [K] · {x} = {F(t)}

Matrice de masse [M] (diagonale) :
M_ii = m_i (masse de l'étage i)
M_ij = 0 si i ≠ j

Matrice de rigidité [K] (tridiagonale, modèle cisaillement) :
K_ii = k_i + k_{i+1} (sauf K_NN = k_N)
K_{i,i+1} = K_{i+1,i} = -k_{i+1}
avec k_i = raideur latérale de l'étage i (12·E·I_poteau / h³ par poteau)

Pour un bâtiment à 3 étages avec masses m_1, m_2, m_3 et raideurs k_1, k_2, k_3 :
[M] = diag(m_1, m_2, m_3)
[K] = | k_1+k_2 -k_2 0 |
| -k_2 k_2+k_3 -k_3|
| 0 -k_3 k_3 |

Problème aux valeurs propres — modes propres :

Solutions harmoniques : {x(t)} = {φ} · sin(ω·t)

Substitution :
([K] - ω² · [M]) · {φ} = {0}

→ problème aux valeurs propres généralisé
det([K] - ω² · [M]) = 0 → équation caractéristique en ω²

Pour N étages : N valeurs propres ω_n² et N vecteurs propres {φ_n}
Fréquences propres : f_n = ω_n / (2π)

Propriétés des modes propres :

① Orthogonalité par rapport à [M] et [K] :
{φ_i}^T · [M] · {φ_j} = 0 si i ≠ j
{φ_i}^T · [K] · {φ_j} = 0 si i ≠ j

② Normalisation par la masse :
{φ_n}^T · [M] · {φ_n} = 1 (convention standard)

③ Découplage des équations en coordonnées modales η_n :
{x(t)} = Σ φ_n · η_n(t)
η̈_n + 2·ξ_n·ω_n·η̇_n + ω_n²·η_n = Γ_n · F̄(t)
avec Γ_n = {φ_n}^T · [M] · {1} (facteur de participation)

Caractéristiques des modes d'un bâtiment N étages uniformes :

N étages	f₁/f₀	f₂/f₁	f₃/f₁	f_N/f₁
2	0,618	2,62	—	2,62
3	0,445	2,80	4,49	4,49
5	0,285	2,90	4,87	6,39
10	0,156	2,98	4,98	12,68

Note : f₀ = √(k/m)/(2π) est la pulsation de référence d'un SDOF avec k et m unitaires.

Forme des modes propres :

Mode 1 : déformée croissante monotone (pas de nœud) — proche d'une droite
Mode 2 : un nœud intermédiaire vers 0,73 H
Mode 3 : deux nœuds intermédiaires
Mode N : maximum d'oscillations (N-1 nœuds)

Plus le mode est haut, plus la déformée est complexe et la fréquence élevée.

Analyse modale parasismique (EC8 §4.3.3.3) :

① Calcul des N modes propres (f_n, φ_n, m*_n) du bâtiment
② Pour chaque mode n :
F_n,i = Γ_n · m_i · φ_n,i · S_d(T_n)
V_n = Σ F_n,i
M_n = Σ F_n,i · z_i
③ Combinaison des modes :
— SRSS (Square Root of Sum of Squares) : F = √(Σ F_n²)
— CQC (Complete Quadratic Combination) : F = √(Σ Σ ρ_ij · F_i · F_j)
④ Nombre de modes retenus : Σ m*_n ≥ 90 % M_total (EC8 §4.3.3.3.1)

Cas particulier — étage souple (« soft story »). Si la rigidité d'un étage est très inférieure aux autres (typiquement RDC avec parking ouvert), le mode 1 concentre presque tout le déplacement sur cet étage. Conséquence dangereuse :

Le mode 1 a une forme « rotule » : tout le déplacement sur 1 niveau, les autres restent rigides.
Sous séisme : effort tranchant cumulé concentré sur l'étage souple → cisaillement excessif.

Cas REX : Hospital Olive View 1971 (San Fernando), Pino Suárez Mexico 1985,
Northridge 1994 (parkings ouverts).

Méthodes de calcul moderne :

Petites structures (N ≤ 5) : calcul analytique à la main possible
Bâtiments courants (5 ≤ N ≤ 20) : analyse modale par méthode QR ou Lanczos (BE)
IGH (N > 20) : Lanczos + algorithmes itératifs (SAP2000, ETABS, Robot)
Méga-structures (N > 50) : modèles continus + analyse fréquentielle FEM

Lien avec d'autres modules. Cas 6 Tour Eiffel — extension au système continu (limite N → ∞). Concept 4 Rayleigh — approximation rapide de f₁ N-DDL. Méca structures Contrev. 3 — distribution F_i par étage selon modes.