La FRF est le diagramme le plus important de la mécanique vibratoire. Elle vous dit, pour chaque fréquence d'excitation Ω, quelle amplitude et quel déphasage la structure renvoie. Trois zones distinctes apparaissent et chacune correspond à un régime physique différent : zone quasi-statique (Ω << ωn, en phase avec la force), zone résonante (Ω ≈ ωn, déphasage de π/2, amplification maximale), zone inertielle (Ω >> ωn, en opposition de phase, masse domine). Cette animation vous laisse balayer la fréquence et voir simultanément le mouvement de la masse, la position sur la FRF, et la phase.
Équation du SDOF forcé harmonique :
m·ÿ + c·ẏ + k·y = F0·cos(Ω·t)
En régime permanent, la solution est y(t) = Y · cos(Ω·t − φ) avec :
Y = F0 / √((k − m·Ω²)² + (c·Ω)²)
tan(φ) = c·Ω / (k − m·Ω²) = 2·ξ·β / (1 − β²)
avec β = Ω/ωn
Facteur d'amplification dynamique (DAF) — module normalisé :
|H(β)| = Y / (F0/k) = 1 / √((1 − β²)² + (2·ξ·β)²)
C'est le facteur par lequel on multiplie la réponse statique F0/k pour obtenir la réponse dynamique Y.
Trois régimes caractéristiques :
① β << 1 (quasi-statique) : |H| → 1, φ → 0. La masse suit la force. Le ressort gouverne.
② β = 1 (résonance) : |H| = 1/(2·ξ) = Q (facteur de qualité), φ = 90°. La masse est en quadrature de la force.
③ β >> 1 (inertiel) : |H| → 1/β², φ → 180°. La masse est en opposition à la force. L'inertie gouverne.
Facteur de qualité Q : Q = |H(β=1)| = 1/(2·ξ). Pour une structure courante (ξ = 2 %), Q = 25 : une force de 10 N produit en résonance le déplacement d'une force statique de 250 N. C'est pourquoi la résonance est dangereuse même pour des forces de faible amplitude.
Bande passante à demi-puissance :
Δω/ωn = 2·ξ (largeur du pic à |H|/√2 ≈ 0,707·|H|max)
Méthode alternative au décrément logarithmique pour mesurer ξ : faire un sweep en fréquence, mesurer la largeur à demi-puissance. Cette méthode est utilisée en TP pour les FRF mesurées en régime forcé.
Diagramme de Nyquist (vu en cours plus avancé) : en traçant le complexe H(jΩ) = Y(j)/F(j) dans le plan complexe, on obtient un cercle dont le diamètre = 1/(2ξ). Méthode de cercle (Mode shape analysis) utilisée en modal testing.
Connexion avec le cours : la FRF est centrale pour TD2 (plot d'isolation : transmissibilité = |H_isolant|). Pour TD3 (système 2 DDL), on parlera de FRF couplée avec deux pics — voir le module TMD Den Hartog.