Le pont roulant est un cas pratique typique d'application au bâtiment industriel : une charge importante (50 à 500 t) se déplace le long d'une poutre de roulement en acier. La fréquence propre du système poutre + charge varie en fonction de la position x de la charge. Position critique : à mi-portée → f₁ minimale, donc plus sensible aux excitations. Cette animation visualise l'évolution de f₁(x) et identifie le risque de résonance avec les harmoniques de la marche du chariot.
Modélisation simplifiée — SDOF équivalent. Pour une charge Q située à la position x sur une poutre bi-appuie, la rigidité équivalente K_eq vue par la charge est donnée par la flèche élastique sous charge ponctuelle :
Flèche élastique sous charge ponctuelle P à la position x :
δ(x) = P · x² · (L - x)² / (3 · E · I · L)
Rigidité équivalente vue par la charge :
K_eq(x) = P / δ(x) = 3 · E · I · L / (x² · (L - x)²)
Fréquence propre SDOF approximative :
f₁(x) = (1/2π) · √(K_eq(x) / m_eq)
où m_eq = Q + α · m_poutre (m_eq inclut la masse propre de la poutre selon Rayleigh, α ≈ 0,49)
Position critique — mi-portée (x = L/2) :
δ_max = P · L³ / (48 · E · I)
K_min = 48 · E · I / L³
f₁,min = (1/2π) · √(48 · E · I / (m_eq · L³))
Aux extrémités (x → 0 ou x → L) :
δ → 0, K → ∞, f₁ → ∞
→ Position la plus défavorable (f minimale) = mi-portée.
Comparaison avec mode 1 vrai (poutre bi-appuie sans charge) :
Mode 1 exact (poutre uniforme) : f₀ = (π/L)² · √(E·I/μ) / (2π)
= (π · L · √(E·I/(μ·L⁴))) / (2π) = (π / 2L²) · √(E·I/μ) · L = π/(2L²) · √(E·I/μ)
Quand Q ≫ m_poutre :
f₁(x = L/2) → √(48·EI/(Q·L³)) / (2π)
Ratio f₁(L/2) / f₀ = √(48 · μ·L / (π⁴ · Q)) → décroît quand Q croît
Excitations possibles — sources d'harmoniques :
| Source | Fréquence (Hz) | Mode | Amplitude |
|---|---|---|---|
| Marche pas-à-pas chariot (roue 4-8 m) | 0,1-0,5 | périodique | 5-15 % g |
| Levage charge (impact) | impulse | transitoire | 20-40 % g |
| Démarrage / arrêt brusque | 0,5-2 Hz (rampe) | transitoire | 30-100 % g |
| Pendulation de la charge | 0,3-2 Hz | oscillatoire | variable |
| Vibrations moteur électrique | 10-30 Hz | haut. fréq. | 1-5 % g |
Vérification ELS — flèche admissible EC3 :
Pour pont roulant (EN 1993-6 §7.2) :
δ_admissible / L < 1/600 (cas courant)
δ_admissible / L < 1/750 (gros chariots, haut tonnage)
Sous charge ponctuelle P à mi-portée :
δ_max = P · L³ / (48 · E · I)
Limite : E · I ≥ P · L⁴ · 600 / 48 = 12,5 · P · L⁴
Vérification vibrations EN 1993-6 §7.3 :
f₁ ≥ 3 Hz (cas courant) — éviter résonance basses fréquences chariot
f₁ ≥ 5 Hz (cas sensible, opérateur cabine) — confort opérateur
Position critique pour vérification : x = L/2
Charge à considérer : poids du chariot + charge soulevée + effets dynamiques (γ_dyn = 1,15-1,40)
Effets dynamiques — coefficients γ_dyn EN 1991-3 (charges grues) :
| Action | γ_dyn | Origine |
|---|---|---|
| Levage net | 1,10 à 1,30 | Hoist Class HC1 à HC4 |
| Translation chariot | 1,15 | Démarrage et arrêt |
| Translation pont | 1,10 | Démarrage et arrêt |
| Choc tampon (butée) | 1,30 à 1,80 | Impact buffer collision |
| Charges chargement de basculement | 1,40 à 1,60 | Pendulation lourde |
Solutions de mitigation des vibrations :
① Augmenter rigidité poutre (profil HEA → HEM, ajout semelle additionnelle)
② Réduire portée par poteaux intermédiaires (si compatible exploitation)
③ Système anti-pendulation (capteurs + asservissement chariot)
④ Tampons hydrauliques en bout de course (réduction chocs)
⑤ Vitesse modérée du chariot (réduit harmoniques)
⑥ Isolation cabine opérateur (silentblocs)
Cas pratiques d'usine :
| Industrie | Tonnage | Portée typique | Profil typique |
|---|---|---|---|
| Atelier maintenance machines | 5-20 t | 10-15 m | HEA 300-400 |
| Acierie / fonderie | 50-200 t | 20-30 m | HEA 800-1000 + semelles |
| Centrale nucléaire (groupe turbine) | 200-500 t | 40-50 m | Caisson BA + acier |
| Atelier automobile (carrosserie) | 5-15 t | 10-20 m | HEA 400-600 |
| Quai port (conteneurs) | 40-65 t | 15-25 m | HEA 800 + chemin BA |
Lien avec d'autres modules. Application directe de Concept 1 SDOF et Concept 2 FRF. Méthode énergétique de Rayleigh utilisée pour calculer f₁. Note : peut être combiné avec un TMD en cas de résonance critique.