La méthode énergétique de Rayleigh (1877) permet d'obtenir une excellente approximation de la fréquence propre fondamentale d'un système complexe en utilisant une simple déformée approchée. Principe : pour un mode propre, l'énergie cinétique maximale (au passage à zéro) égale l'énergie potentielle élastique maximale (à amplitude maximale). Cette méthode est l'outil de pré-dimensionnement le plus utilisé en bureau d'études et est cruciale en parasismique (EC8) lorsqu'on doit estimer T₁ avant analyse EF complète.
Principe fondamental. Pour un système oscillant en mode propre n, w(z, t) = φ(z)·sin(ω_n·t), on a :
T(t) = (1/2) · ∫ μ · (∂w/∂t)² dz = (1/2) · ω² · ∫ μ · φ² · cos²(ωt) dz
U(t) = (1/2) · ∫ EI · (∂²w/∂z²)² dz = (1/2) · ∫ EI · (φ'')² · sin²(ωt) dz
Énergie cinétique max (cos²=1) : T_max = (1/2) · ω² · ∫ μ · φ² dz
Énergie potentielle max (sin²=1) : U_max = (1/2) · ∫ EI · (φ'')² dz
Conservation : T_max = U_max (pas de dissipation en oscillation libre)
Formule de Rayleigh :
ω² = (∫ EI · (φ'')² dz) / (∫ μ · φ² dz)
f = ω / (2π)
Propriété fondamentale — Rayleigh majore :
ω_Rayleigh ≥ ω_exact (le quotient de Rayleigh majore la vraie fréquence)
Égalité atteinte si et seulement si φ = mode propre exact.
Donc : plus la déformée approchée est proche du mode propre exact, plus la précision est bonne.
Conséquence pratique :
→ choisir φ aussi proche que possible du mode propre attendu
→ meilleure approximation = la déformée statique sous gravitations
Choix optimal de la déformée approchée :
| Structure | Déformée optimale | Erreur typique (Rayleigh / exact) |
|---|---|---|
| Console homogène | Déformée statique sous q : (15z⁴ - 60Lz³ + 90L²z²) / 90L⁴ | 0,01 % (mode 1) |
| Console homogène (approx) | 1 - cos(πz/2L) | 0,5 % |
| Console homogène (rough) | (z/L)² (parabole) | ~ 18 % |
| Poutre bi-appuie | sin(πz/L) (mode 1 exact) | 0 % (exact) |
| Poutre bi-appuie (approx) | z(L-z)·(z²+Lz-L²) / L⁴ | 0,2 % |
| Bâtiment R+n (shear bldg) | z/L (linéaire) | ~ 4 % |
Application 1 — Console homogène avec déformée statique sous poids propre :
φ(z) sous charge linéique uniforme q :
w(z) = q · (3L²z² - 4Lz³ + z⁴) / (24·EI) (déformée poutre console statique)
Normalisation : φ_max = w(L) = qL⁴/(8·EI), normaliser à 1 :
φ(z) = (3·z²L² - 4·z³L + z⁴) · 3 / L⁴ (forme adimensionnelle, φ(L) = 1)
Numérateur (énergie potentielle) :
∫₀ᴸ EI · (φ'')² dz = EI · (108/(5·L⁴))
Dénominateur (énergie cinétique) :
∫₀ᴸ μ · φ² dz = μ · (162/(385·L⁻¹)) × L = 0,420·μ·L
Rayleigh :
ω² = (108·EI/(5·L⁴)) / (0,420·μ·L) = 51,43 · EI/(μ·L⁵)
ω ≈ 3,531 · √(EI/(μ·L⁴))
Comparaison exact :
ω_exact = (1,875)² · √(EI/μL⁴) = 3,516 · √(EI/(μ·L⁴))
Erreur Rayleigh : 3,531/3,516 = 1,0043 → 0,43 % (excellent)
Application 2 — Bâtiment R+n approximation. En génie civil, on utilise souvent la formule simplifiée de Rayleigh pour bâtiment R+n :
Déformée approximée : φ_i = z_i / H (linéaire pour shear building)
T₁ ≈ 2π · √(Σ(m_i · δ_i²) / Σ(P_i · δ_i))
avec :
m_i = masse étage i
δ_i = déplacement statique étage i sous F_i = m_i · g (charges latérales = poids)
P_i = m_i · g (poids cumulé statique)
Cette formule est dans le commentaire EC8 §4.3.3.2.2(2) comme alternative à T₁ = C_t·H^0,75.
Application 3 — Console + masse concentrée en tête (cas château d'eau, antenne, mât) :
Masse linéique répartie μ + masse concentrée M en tête
Déformée approchée : φ(z) = 3(z/L)² - 2(z/L)³ (cubique avec φ(L) = 1, φ'(L) = 0)
ω² ≈ 3·EI / (L³ · (M + 33/140 · μ·L))
Si M ≫ μ·L (masse en tête dominante) :
ω ≈ √(3·EI/(M·L³)) (SDOF classique avec K = 3·EI/L³)
Si M = 0 (console pure) :
ω ≈ √(3·EI / (33/140·μL·L³)) = √(3 × 140 / 33) · √(EI/(μ·L⁴)) = 3,57 · √(EI/(μ·L⁴))
(à comparer à 3,516 exact → 1,6 % d'erreur seulement)
Méthode de Rayleigh-Ritz — extension multi-mode. Pour calculer des modes supérieurs :
Choisir N fonctions d'essai φ_i(z) (i = 1, 2, ..., N) orthogonales
Calculer les matrices K_ij = ∫ EI · φ_i'' · φ_j'' dz
Et M_ij = ∫ μ · φ_i · φ_j dz
Résoudre le problème aux valeurs propres : K · a = ω² · M · a
→ on obtient N approximations des fréquences propres ω_1, ω_2, ..., ω_N
Précision croissante avec N (mais limitée par la qualité du sous-espace généré)
Base théorique de la méthode des Éléments Finis (Galerkin) → standard moderne.
Cas historiques d'application :
| Bâtiment | T₁ Rayleigh | T₁ mesuré | Erreur |
|---|---|---|---|
| Tour Eiffel (1885) | 3,0 s (Koechlin) | 3,12 s | 4 % |
| Empire State (1931) | 5,8 s | 5,5 s | 5 % |
| Sears Tower (1973) | 7,2 s | 7,8 s | 8 % |
| Petronas Towers (1998) | 9,0 s | 9,3 s | 3 % |
Avantages et limites :
Avantages :
① Très rapide (calcul à la main si déformée simple)
② Précision excellente sur le mode fondamental (typ. 0,5-5 % erreur)
③ Convient pour pré-dimensionnement et vérification ordre de grandeur
④ Compréhension physique du système
Limites :
① Précision médiocre sur modes supérieurs (sauf Rayleigh-Ritz)
② Sensible au choix de la déformée
③ Ne traite pas l'amortissement (qui doit être ajouté séparément)
④ Pour modes complexes (3D, torsion couplée) : utiliser EF moderne
Lien avec d'autres modules. Cas 6 Tour Eiffel applique aux systèmes continus. Contrev. 2 EC8 utilise T₁ = C_t·H^0,75 (approximation alternative à Rayleigh).