Tout le cours de mécanique vibratoire part d'un seul objet : la masse reliée à un ressort et à un amortisseur, régie par m·ẍ + c·ẋ + k·x = F(t). Deux questions fondatrices : (1) lâché de sa position, comment revient-il à l'équilibre — en oscillant ou non ? C'est la vibration libre et ses trois régimes. (2) Soumis à une excitation harmonique, quand son amplitude explose-t-elle ? C'est la résonance. Ce module fondateur introduit les paramètres réduits ω0, ζ et le facteur d'amplification, qui seront réutilisés dans tous les modules suivants (FRF, TMD, isolation, parasismique…).
Les courbes pointillées fixes (ζ = 0,2 / 1 / 2) servent de repère ; la courbe pleine suit votre ζ courant.
Équation réduite. En divisant par m, l'équation libre devient :
ẍ + 2ζω0·ẋ + ω0²·x = 0 avec ω0 = √(k/m) ; ζ = c / (2√(km))
Trois régimes selon le signe du discriminant de r² + 2ζω0r + ω0² = 0 :
ζ < 1 (sous-amorti) : x(t) = e−ζω₀t(A cos ωdt + B sin ωdt), ωd = ω0√(1−ζ²)
ζ = 1 (critique) : x(t) = e−ω₀t(A + B t) — retour le plus rapide sans dépassement
ζ > 1 (sur-amorti) : x(t) = A er₁t + B er₂t, r1,2 = ω0(−ζ ± √(ζ²−1))
Seul le régime sous-amorti oscille, et l'amortissement ralentit l'oscillation (ωd < ω0). Le décrément logarithmique δ = 2πζ/√(1−ζ²) permet d'identifier ζ entre deux pics successifs (voir Concept 1).
Réponse forcée harmonique F(t) = F0cos(Ωt). En posant r = Ω/ω0, l'amplitude permanente est :
X = (F0/k) · H(r) ; H(r) = 1 / √((1−r²)² + (2ζr)²) ; tan φ = 2ζr/(1−r²)
Le pic d'amplification n'est pas exactement à r = 1 mais à :
rpic = √(1−2ζ²) (si ζ < 1/√2 ≈ 0,707) ; Hmax = 1/(2ζ√(1−ζ²)) ≈ Q = 1/(2ζ)
Au-delà de ζ = 1/√2, plus aucun pic : la résonance disparaît. Le facteur de qualité Q = 1/(2ζ) mesure l'acuité de la résonance (grand Q = pic étroit et haut). Pour r ≫ 1, X → 0 et φ → π : c'est le domaine de l'isolation vibratoire (r > √2).
Suite du cours. Le module Concept 2 (FRF) approfondit la fonction de réponse en fréquence et la transmissibilité ; le Concept 3 (TMD) montre comment écrêter ce pic de résonance.