Un train n'est pas une charge mobile quelconque : c'est une série quasi-périodique d'essieux régulièrement espacés d'une longueur de voiture D. Lorsque la fréquence de passage des bogies V/D coïncide avec une sous-harmonique de la fréquence propre du tablier f1, chaque essieu « pompe » le pont en phase avec son oscillation : l'amplitude croît cycle après cycle, exactement comme une balançoire poussée au bon rythme. Ce phénomène, sans rapport avec le vent, est devenu dimensionnant pour les ponts de lignes à grande vitesse depuis les années 1990. Ce module vous laisse balayer la vitesse V et observer l'apparition des vitesses critiques Vcrit,n = f1·D/n.
Tablier isostatique, mode fondamental. On retient le premier mode d'une poutre simplement appuyée, de déformée φ(x) = sin(πx/L). La réponse modale q(t) (flèche à mi-travée) obéit à :
M*·q̈ + 2ξ·ω1·M*·q̇ + ω1²·M*·q = Q(t)
ω1 = 2πf1 ; M* = m·L/2 (masse modale) ; ami-travée(t) = q̈(t)
Charge modale d'un convoi. Le train est une suite de charges P espacées de D. La force généralisée est la somme des contributions des essieux présents sur la travée :
Q(t) = Σk P · sin(π·xk(t)/L) pour 0 ≤ xk ≤ L , xk(t) = V·t − k·D
Vitesses critiques. La sollicitation est quasi-périodique de période Tp = D/V. La résonance survient quand un multiple entier de cette fréquence excitatrice égale la fréquence propre, soit n·(V/D) = f1 :
Vcrit,n = f1·D / n (n = 1, 2, 3, …) — en km/h : Vcrit,n = 3,6·f1·D/n
La résonance principale (n=1) est la plus violente. Exemple : f1 = 4 Hz, D = 18 m → Vcrit,1 = 259 km/h, pleinement dans le domaine TGV. C'est pourquoi le phénomène n'est apparu qu'avec la grande vitesse.
Critères réglementaires (EN 1990 annexe A2.4.4). L'accélération verticale du tablier est plafonnée pour garantir la stabilité de la voie :
amax ≤ 3,5 m/s² (voie ballastée — décompactage du ballast)
amax ≤ 5,0 m/s² (voie sur dalle)
L'analyse réglementaire se fait avec le modèle HSLM-A (EN 1991-2 §6.4.6), enveloppe des trains réels, en balayant les vitesses jusqu'à 1,2·Vligne. Il faut aussi vérifier la fatigue (cycles de contrainte) et le confort des voyageurs (accélération en caisse, EN 1990 A2.4.3).
Pourquoi les travées courtes ? Pour L < 40 m, la masse modale M* = m·L/2 est faible, l'amortissement structurel est bas (ξ ~ 0,5–1,5 % en béton précontraint), et un seul essieu suffit à exciter fortement le mode. Les grandes travées, plus massives et où plusieurs essieux se compensent, sont moins sensibles.
Remèdes (jouez avec le bouton « TMD »). ① augmenter l'amortissement (TMD accordés en travée, +1 à 2 % effectifs) ; ② augmenter la masse ou la raideur pour déplacer f1 hors de la plage de résonance ; ③ continuité des travées (rend la déformée moins « résonnante »). Lien avec le Concept 3 (TMD Den Hartog) : le pré-dimensionnement de l'amortisseur de travée utilise exactement les formules μ, αopt, ξ2,opt.
Modèle pédagogique simplifié : un seul mode, charges ponctuelles régulières (une par voiture), intégration de Newmark (β=1/4). Une étude réelle mobilise plusieurs modes, le schéma de bogies réel HSLM, et l'interaction véhicule-structure. Les ordres de grandeur et les vitesses critiques sont néanmoins corrects.