Les machines tournantes (presses, ventilateurs, pompes, compresseurs, moteurs électriques) sont une source majeure de vibrations dans le bâtiment industriel. La masse en déséquilibre du rotor (m_e excentricité e) crée une force centrifuge F = m_e · e · Ω² qui se transmet au plancher d'appui. Si Ω proche de la fréquence propre du plancher → résonance → amplification. Solution classique : plots élastiques d'isolation qui réduisent la transmissibilité au sol. Cette page anime le calcul de la transmissibilité T(Ω/ω₀) selon EC1 et VDI 2057.
Force centrifuge due au déséquilibre. Une masse m_e située à une distance e (excentricité) de l'axe de rotation, tournant à vitesse angulaire Ω, génère une force centrifuge :
F = m_e · e · Ω² (N, avec m_e en kg, e en m, Ω en rad/s)
Ω = 2π · N / 60 (rad/s, avec N en tr/min)
La force tourne avec le rotor → composantes :
F_x(t) = m_e · e · Ω² · cos(Ω·t)
F_y(t) = m_e · e · Ω² · sin(Ω·t)
Effet sur l'appui : excitation harmonique à pulsation Ω.
Grades de balance de rotor (ISO 1940/G). Mesure du déséquilibre résiduel autorisé :
| Classe G | e_per (mm/s) | Application typique |
|---|---|---|
| G 0,4 | 0,4 | Précision (gyroscopes, mémoires) |
| G 1 | 1 | Moteurs avion, turbines |
| G 2,5 | 2,5 | Turbines à vapeur, ventilateurs précision |
| G 6,3 | 6,3 | Ventilateurs courants, machines outils |
| G 16 | 16 | Moteurs électriques industriels |
| G 40 | 40 | Roues automobile, vilebrequins moteur |
| G 100 | 100 | Vilebrequins gros diesel marin |
Conversion : e (mm) = e_per (mm/s) × 60 / (2π · N) = G × 9,55 / N
Exemple : moteur G 6,3 à 1 500 tr/min
e = 6,3 × 9,55 / 1500 = 0,04 mm = 40 µm
Pour rotor 100 kg : m_e × e = 100 × 0,000040 = 4 g·m = 4 000 g·mm
Transmissibilité — concept central de l'isolation vibratoire. La transmissibilité T est le rapport entre l'effort transmis au sol et l'effort excitateur :
T = |F_transmis / F_excitation|
Pour un système SDOF (machine sur ressort + amortisseur) :
T(β) = √((1 + (2ζβ)²) / ((1 - β²)² + (2ζβ)²))
avec β = Ω / ω₀ (rapport pulsation excitation / pulsation propre)
Comportements typiques :
β < 1 (Ω < ω₀) : T ≥ 1, transmission directe
β = 1 (résonance) : T_max = √(1 + 1/(4ζ²))/(2ζ) — très élevé !
β = √2 : T = 1 (point de transition)
β > √2 : T < 1, isolation efficace
β = 5 : T ≈ 4 % (efficacité 96 %)
β = 10 : T ≈ 1 %
Règle d'or de l'isolation :
Pour isoler efficacement, il faut ω₀ ≪ Ω
Règle pratique : f_n ≤ Ω / (2π · 3) → β ≥ 3 → T ≤ 12 % (efficacité 88 %)
Excellent : β ≥ 5 → T ≤ 4 % (efficacité 96 %)
Cela exige des plots très souples, ce qui :
① grands déplacements en fonctionnement (50-200 mm typique)
② mode propre f_n très bas (0,5-3 Hz), risque résonance vent/séisme
③ amortissement modéré (ζ = 5-15 %) pour limiter le pic de résonance au démarrage
Effet de l'amortissement sur la transmissibilité. Plus ζ est grand, plus le pic de résonance est limité, mais plus l'isolation à haute fréquence est dégradée :
ζ = 0 : T_max = ∞ à β=1, mais T décroît rapidement après
ζ = 5 % : T_max = 10 à β=1, T = 4 % à β=5
ζ = 20 % : T_max = 2,9 à β=1, T = 12 % à β=5 (isolation dégradée)
ζ = 50 % : T_max = 1,4 à β=1, T = 25 % à β=5 (isolation très dégradée)
Compromis :
— Si Ω constant (machine stable) : ζ faible (1-5 %) → isolation excellente
— Si Ω variable ou démarrages fréquents : ζ modéré (5-15 %) → pic limité au démarrage
Types d'isolateurs — choix selon f_n :
| Type | f_n typique | Application | Coût relatif |
|---|---|---|---|
| Plots polyuréthane / caoutchouc | 8-15 Hz | Petits moteurs, ventilateurs | 1 |
| Plots métalliques + élastomère | 5-10 Hz | Machines outils moyennes | 1,5 |
| Plots à ressorts hélicoïdaux | 2-5 Hz | Compresseurs, gros ventilateurs | 3 |
| Plots à ressorts souples + plats | 1,5-3 Hz | Presses, machines industrielles lourdes | 5 |
| Isolateurs pneumatiques | 0,5-2 Hz | Microscopes électroniques, métrologie | 10 |
| Bâti sur ressorts + dalle inertie | 0,3-1 Hz | Salles de musique, studios enregistrement | 20 |
Dimensionnement plot isolant :
Étape 1 : choisir f_n cible selon transmissibilité souhaitée
f_n ≤ Ω / (2π · 3) pour T ≤ 12 %
Étape 2 : calculer la raideur K nécessaire par plot
K = (2π · f_n)² · M_machine / N_plots
Étape 3 : choisir le matériau et la géométrie
Caoutchouc : déformation statique δ = M·g/K typ. 2-20 mm
Ressort : courses possibles 20-200 mm
Étape 4 : vérifier course dynamique (déplacement amplifié à résonance)
Règle : Charge admissible par plot = M_machine · g / N_plots ≤ Charge nominale plot
(consulter catalogues Trelleborg, Vibrachoc, Paulstra, GERB)
Plot d'isolation typique pour ventilateur 500 kg, 1 500 tr/min :
Ω = 1 500 × 2π / 60 = 157 rad/s = 25 Hz
Cible : f_n = 5 Hz → β = 25/5 = 5 → T ≈ 4 %
Raideur totale K = (2π·5)² × 500 = 493 000 N/m = 493 N/mm
4 plots → K_plot = 123 N/mm
Course statique δ = 500 × 9,81 / 493 000 = 10 mm
→ Choisir plot caoutchouc HRC série 50 ou plot à ressort souple
Critère de confort vibrations bâtiment (ISO 10137 / VDI 2057) :
| Bâtiment | v_rms admissible (mm/s) | Source dominante |
|---|---|---|
| Industrie courante | 15 | Process |
| Bureau, atelier | 5 | Confort opérateurs |
| Hôpital | 2 | Confort patients |
| Hôpital — bloc opératoire | 0,5 | Précision instruments |
| Métrologie (microscopes) | 0,1 | Imagerie nm |
Lien avec d'autres modules. Application directe de Concept 2 (FRF et transmissibilité). Cas bâtiment sur ressorts (LGV) — isolation en réception (versus émission ici).