L'amortisseur à masse accordée (Tuned Mass Damper ou TMD) est un dispositif passif fondamental : on attache au système principal (bâtiment, pont) une masse secondaire reliée par un ressort et un amortisseur. Si l'on accorde correctement cette masse, elle absorbe l'énergie au lieu de la laisser au système principal. Den Hartog (1947) a établi les formules d'optimisation analytiques qui restent la référence pour tout pré-dimensionnement. Cette animation vous laisse jouer avec les trois paramètres clés (μ, f₂/f₁, ξ₂) pour comprendre pourquoi un TMD bien réglé transforme le pic unique de résonance en deux pics jumeaux atténués.
Système 2-DDL — équations couplées :
m1·ẍ1 + (c1+c2)·ẋ1 − c2·ẋ2 + (k1+k2)·x1 − k2·x2 = F(t)
m2·ẍ2 − c2·ẋ1 + c2·ẋ2 − k2·x1 + k2·x2 = 0
Trois paramètres adimensionnels :
μ = m2/m1 (ratio de masse, typiquement 1-5 %)
α = f2/f1 = √(k2/m2) / √(k1/m1) (accord)
ξ2 = c2 / (2·m2·ω2) (amortissement du TMD)
Optimum de Den Hartog (1947) — pour structure principale sans amortissement (ξ1 = 0), les formules analytiques sont :
αopt = 1 / (1 + μ)
ξ2,opt = √(3·μ / (8·(1+μ)³))
À cet optimum, les deux pics de la FRF couplée ont la même hauteur :
|H|max = √((1 + 2/μ)) ≈ √(2/μ) pour μ << 1
Exemple : μ = 2 % → |H|max ≈ 10 (au lieu de Q = 1/(2ξ1) = 50 pour ξ1 = 1 % sans TMD). Atténuation par facteur 5 avec seulement 2 % de masse ajoutée. C'est extrêmement efficace.
Pour structure principale avec amortissement (cas réel ξ1 > 0), pas de formule fermée — optimisation numérique. Approximations de Warburton (1982), Tsai-Lin (1993). Mais les formules de Den Hartog restent excellentes en avant-projet pour ξ1 < 5 %.
Course du TMD (amplitude relative). À l'optimum :
|x2 − x1| / |x1,statique| ≈ 1 / (μ·ξ2,opt)
Pour μ = 2 %, la course relative atteint ~25× le déplacement statique du bâtiment principal. C'est pourquoi les TMD sont placés sur des rails très longs (Taipei 101 : course ±1,5 m).
Pièges classiques en revue :
① Désaccord — si α ≠ αopt, le TMD perd 30-50 % d'efficacité dès |α − αopt| / αopt > 5 %.
Critique pour structures à f1 variable (CLT humidifié, béton fissuré).
② Sous-amortissement du TMD — ξ2 << ξ2,opt → deux pics étroits très hauts, pire qu'une structure sans TMD.
③ Sur-amortissement du TMD — ξ2 >> ξ2,opt → masse 2 « solidaire » de la masse 1, comportement SDOF effectif, TMD inactif.
④ Course insuffisante — rails trop courts, butées en fin de course → choc, transmission impulsive, TMD inactif voire nuisible.
Lien avec la suite du cours. TD3 traite le pré-dimensionnement complet d'un TMD pour une passerelle (m₂, k₂, c₂, course). Voir aussi la thématique Surélévation pour le cas particulier où la surélévation elle-même joue le rôle de TMD.