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Mesure expérimentale de ξ — décrément logarithmique au smartphone

Mesurer l'amortissement d'une structure est l'un des actes les plus importants — et les plus simples — de l'ingénierie vibratoire. Cette animation reproduit virtuellement la démonstration faite en cours sur la maquette de portique avec un smartphone (application PhyPhox, dont l'utilisation sera approfondie dans le module Traitement du signal). L'objectif est que vous compreniez l'origine physique de la formule du décrément logarithmique avant de la pratiquer en TP.

Protocole expérimental (à reproduire en TP)

  1. Placer le smartphone (face contre paroi, ou collé avec adhésif double face) sur le sommet d'une maquette de portique.
  2. Lancer l'enregistrement accéléromètre (PhyPhox « Acceleration with g », fréquence 100 Hz minimum).
  3. Donner un coup sec (chiquenaude) au sommet du portique — impulsion ≈ Dirac.
  4. Attendre l'amortissement complet (~ 3 à 10 s selon ξ).
  5. Exporter le signal en CSV, ouvrir dans un tableur ou Python.
  6. Identifier les pics successifs yn, yn+1, ... yn+k.
  7. Calculer δ = (1/k)·ln(yn/yn+k), puis ξ = δ/(2π).
  8. Mesurer Tn par la moyenne des intervalles entre passages à zéro.

Paramètres du portique

[A] Maquette de portique + smartphone — mode 1 latéral
[B] Signal accéléromètre a(t) capturé par le smartphone
[C] Extraction de δ et ξ par régression sur ln(y) — décroissance exponentielle
fn = √(k/m)/2π (Hz)
0
Tn (s)
0
ξ entré (%)
0
δ théorique
0
δ mesuré
—
ξ identifié (%)
—
Pics utilisés
—
Erreur
—
Cliquez sur « Donner un coup » pour lancer la simulation.

Origine physique de la formule du décrément logarithmique

Équation du SDOF amorti libre. Pour un système masse-ressort-amortisseur sans excitation extérieure, après un lâcher :

m·ÿ + c·ẏ + k·y = 0
⇒ y(t) = y0 · e−ξ·ωn·t · cos(ωd·t + φ)

où ωn = √(k/m), ωd = ωn·√(1 − ξ²) ≈ ωn pour ξ < 10 %. L'enveloppe exponentielle e−ξ·ωn·t décroît à un rythme proportionnel à ξ.

Décrément logarithmique — formule de référence. Entre deux pics successifs séparés de Td = 2π/ωd :

yn/yn+1 = eξ·ωn·Td = e2π·ξ/√(1−ξ²)
δ ≡ ln(yn/yn+1) = 2π·ξ/√(1−ξ²) ≈ 2π·ξ (pour ξ < 10 %)

D'où la formule de référence : ξ = δ/(2π).

Pour réduire le bruit de mesure, on utilise plusieurs cycles :

δ = (1/k) · ln(yn/yn+k)    (k = 3 à 10 pics typiquement)

Valeurs typiques de ξ en génie civil :

┌──────────────────────────────────┬─────────┐
│ Structure │ ξ (%) │
├──────────────────────────────────┼─────────┤
│ Acier soudé (assemblages rigides)│ 1 - 2 │
│ Acier boulonné │ 2 - 4 │
│ Béton précontraint │ 1 - 3 │
│ Béton armé fissuré │ 3 - 7 │
│ Maçonnerie │ 5 - 10 │
│ Bois (lamellé-collé, assemblages) │ 1 - 4 │
│ Réservoirs liquides (sloshing) │ 0,3 - 0,5│
│ Pont haubané (sans amortisseur) │ 0,3 - 0,7│
│ Tour gratte-ciel (sans TMD) │ 0,7 - 1,5│
└──────────────────────────────────┴─────────┘

Précision pratique de la mesure. Le smartphone (accéléromètres MEMS) atteint typiquement 5 mg de bruit RMS — suffisant pour mesurer ξ entre 0,5 % et 10 % sur une amplitude initiale > 50 mg. Pour ξ < 0,5 % (cas des grands ouvrages), il faut un capteur géophone ou accéléromètre piézoélectrique professionnel. Voir programme DYNATTB pour mesures sur IGH bois.

Lien avec la suite du cours. Le décrément log est limité aux systèmes 1 DDL identifiables. Pour les systèmes multimodaux, on utilise la méthode bande passante (demi-puissance) sur la FRF (voir module suivant) ou les méthodes opérationnelles sous excitation ambiante (FDD, SSI, RDT) pour les grands ouvrages.