Cas 6 — Tour Eiffel : modes propres d'une console géante (système continu)

Équation aux dérivées partielles — mouvement transversal w(z, t) d'une poutre verticale :

EI · ∂⁴w/∂z⁴ + μ · ∂²w/∂t² = 0

avec :
EI = rigidité de flexion (N·m²)
μ = masse linéique (kg/m)
z = abscisse depuis l'encastrement (m)

Solutions par séparation de variables : w(z, t) = φ(z) · sin(ωt)

Équation modale :
d⁴φ/dz⁴ - β⁴ · φ = 0
avec β⁴ = μ · ω² / EI

Solutions générales :
φ(z) = A·cos(βz) + B·sin(βz) + C·cosh(βz) + D·sinh(βz)

Conditions aux limites d'une console (encastrée en z=0, libre en z=L) :

z = 0 (encastrement) : φ(0) = 0 et φ'(0) = 0
z = L (libre) : φ''(L) = 0 (pas de moment) et φ'''(L) = 0 (pas d'effort tranchant)

Équation caractéristique :
cos(β·L) · cosh(β·L) + 1 = 0

Racines (numériques) :
β₁·L = 1,8751
β₂·L = 4,6941
β₃·L = 7,8548
β_n·L → (2n−1)π/2 quand n→∞

Fréquences propres :

ω_n = (β_n·L)² · √(EI / (μ·L⁴))
f_n = ω_n / (2π)

Ratios remarquables :
f₂ / f₁ = (4,6941 / 1,8751)² = 6,27
f₃ / f₁ = (7,8548 / 1,8751)² = 17,5

Comparer à SDOF f_n = 1/(2π) · √(K/M) qui ne donne qu'un mode

Application Tour Eiffel :
Mesures (Couturier 2007, Bati'Eiffel 2019) :
f₁ = 0,32 Hz, f₂ = 1,18 Hz (mesuré 3,69), f₃ = 2,8 Hz (mesuré 8,75)
Note : non-uniformité (4 pieds inclinés) → ratios diffèrent légèrement de la console pure

Modes propres φ_n(z) — formes universelles :

φ_n(z) = cosh(β_n·z) - cos(β_n·z) - σ_n · (sinh(β_n·z) - sin(β_n·z))
avec σ_n = (cos(β_n·L) + cosh(β_n·L)) / (sin(β_n·L) + sinh(β_n·L))

Caractéristiques visuelles :
Mode 1 : déformée monotone (max au sommet) — pas de zéro intérieur
Mode 2 : 1 nœud à environ 0,78·L — changement de signe
Mode 3 : 2 nœuds à 0,50·L et 0,87·L
Mode n : (n-1) nœuds intermédiaires

Masse participante — concept-clé EC8 §4.3.3.3 :

Pour chaque mode n, on définit le facteur de participation :
Γ_n = (∫ μ · φ_n dz) / (∫ μ · φ_n² dz)

Et la masse participante effective :
m*_n = Γ_n² · (∫ μ · φ_n² dz)

Σ m*_n = M_total (théorème de conservation)

Pour console uniforme (Tour Eiffel approx.) :
Mode 1 : m*₁ / M = 0,613 (61 %)
Mode 2 : m*₂ / M = 0,188 (19 %)
Mode 3 : m*₃ / M = 0,065 (6,5 %)
Modes 1 à 3 cumulés : 87 % > 90 % requis par EC8 (1 mode suffit, ou 3 si très élancée)

Conséquences pour la conception :

① Vent rafale : excite principalement le mode 1 (basses fréquences). SDOF suffit pour H/L < 5.
② Séisme : excite modes 1, 2, 3 selon spectre de réponse → analyse modale obligatoire
pour H/L > 5 ou bâtiment irrégulier (EC8 §4.3.3.3.1).
③ Effets locaux (machines, ascenseurs) : excitent les modes supérieurs.
④ Modes torsionnels additionnels : f_θ peut être proche de f_1 si rigidité torsionnelle faible
→ couplage dangereux (cas Pino Suárez Mexico 1985).

Mesures réelles sur la Tour Eiffel :

Année	Méthode	f₁ (Hz)	ξ mesuré	Remarque
1885 (projet)	Eiffel/Koechlin (calcul main)	0,28 (prédit)	—	Calcul console approximatif
1970s	Sismographes Plumerin	0,32	0,8 %	Mesure passive
2007	Couturier — OMA	0,317	1,0 %	OMA décomposition fréquentielle
2019	Bati'Eiffel (LMT/Sétra)	0,323	1,2 %	Capteurs permanents

Cas Tour Eiffel particulier. La structure n'est pas une console pure mais un treillis à 4 pieds inclinés, structure en partie « légère » en haut et « lourde » en bas. Cela conduit à des fréquences légèrement plus basses que la théorie console homogène ne le prédit, et à des ratios f₂/f₁ légèrement différents (~ 3,7 vs 6,3 théorique). L'analyse modale par EF (logiciels Robot/SAP) est nécessaire pour précision.

Lien avec autres modules. Concept 1 (SDOF) : limite à un seul DDL. Ce cas étend à N-DDL et continu. Cas 4 DYNATTB : mesures similaires sur IGH bois. Méca structures Contrev. 3 : distribution verticale par mode propre.