Concept 5 — Réponse temporelle : intégrale de Duhamel et excitations transitoires

Équation du mouvement SDOF :

m · ẍ + c · ẋ + k · x = F(t)

avec ω_n² = k/m, ζ = c/(2·m·ω_n), ω_d = ω_n · √(1 - ζ²)

Principe de Duhamel. Une force F(t) peut être décomposée en une succession d'impulsions élémentaires F(τ)·dτ à chaque instant τ. La réponse à une impulsion unitaire à τ = 0 est :

h(t) = (1 / (m · ω_d)) · e^(-ζ·ω_n·t) · sin(ω_d · t) pour t ≥ 0

C'est la fonction de transfert impulsionnelle.

Par linéarité (principe de superposition), la réponse à F(t) est l'intégrale :
x(t) = ∫₀ᵗ F(τ) · h(t - τ) dτ (intégrale de Duhamel)
= (1/(m·ω_d)) · ∫₀ᵗ F(τ) · e^(-ζ·ω_n·(t-τ)) · sin(ω_d·(t-τ)) dτ

Cette formule est la base du calcul dynamique en bureau d'études.

Cas 1 — Réponse à un choc impulsif (F(t) = J · δ(t), impulsion totale J en N·s) :

x(t) = (J / (m · ω_d)) · e^(-ζ·ω_n·t) · sin(ω_d · t)

Caractéristiques :
— Réponse libre amortie (décroissance exponentielle)
— Amplitude max : x_max = J / (m · ω_d) (peu après l'impact)
— Durée de la réponse : ~ 5/ζω_n (décroissance à 1 %)

Exemple : choc J = 100 N·s sur m = 1 000 kg, f_n = 2 Hz, ζ = 5 % :
ω_n = 12,6 rad/s, ω_d = 12,5 rad/s
x_max = 100 / (1000 × 12,5) = 0,008 m = 8 mm

Cas 2 — Réponse à un échelon de force (F(t) = F₀ pour t ≥ 0) :

x(t) = (F₀/k) · [1 - e^(-ζ·ω_n·t) · (cos(ω_d·t) + (ζ·ω_n/ω_d)·sin(ω_d·t))]

Réponse statique finale : x_∞ = F₀/k
Premier dépassement maximum (t ≈ T_d/2) :
x_max = (F₀/k) · (1 + e^(-π·ζ/√(1-ζ²)))

Facteur dynamique d'amplification : DAF = x_max / x_statique
Pour ζ = 0 : DAF = 2 (le double !)
Pour ζ = 5 % : DAF = 1,85
Pour ζ = 10 % : DAF = 1,73
Pour ζ = 20 % : DAF = 1,53

Règle d'or : un choc dépasse de presque ×2 la sollicitation statique équivalente.

Cas 3 — Réponse à une rampe linéaire (F(t) = F₀ · t/t_r pour 0 ≤ t ≤ t_r) :

Si t_r ≫ T_n (rampe lente) : DAF ≈ 1 (quasi-statique)
Si t_r ≈ T_n/2 : DAF ≈ 1,5-1,7
Si t_r ≪ T_n (rampe rapide) : DAF → 2 (comme échelon)

Application : démarrage de machine, levage charge, application progressive du vent moyen.

Cas 4 — Réponse au sisme. L'excitation est l'accélération du sol ÿ_g(t). L'équation s'écrit :

m · ẍ + c · ẋ + k · x = -m · ÿ_g(t)

Intégrale de Duhamel :
x(t) = -(1/ω_d) · ∫₀ᵗ ÿ_g(τ) · e^(-ζ·ω_n·(t-τ)) · sin(ω_d·(t-τ)) dτ

Spectre de réponse S_d, S_v, S_a (EC8) :
Pour un accélérogramme ÿ_g(t) donné et un ξ fixé, on calcule pour chaque T_n :
S_d(T_n) = max |x(t)|
S_v(T_n) = max |ẋ(t)|
S_a(T_n) = max |ẍ(t) + ÿ_g(t)| ≈ (2π/T_n)² · S_d(T_n)

Le spectre EC8 §3.2.2 est une enveloppe de spectres d'accélérogrammes typiques.

Implémentation numérique — méthodes de Newmark / Wilson-θ :

Pour résoudre numériquement m·ẍ + c·ẋ + k·x = F(t) :

Méthode de Newmark (β = 1/4, γ = 1/2) — implicite, inconditionnellement stable :
x_{n+1} = x_n + Δt·ẋ_n + Δt²·[(1-2β)·ẍ_n + 2β·ẍ_{n+1}]/2
ẋ_{n+1} = ẋ_n + Δt·[(1-γ)·ẍ_n + γ·ẍ_{n+1}]

Méthode de Wilson-θ (θ = 1,4) :
Linéarisation sur intervalle θ·Δt, projection sur Δt

Standard moderne pour analyse temporelle EC8 §4.3.3.4 (analyse temporelle non-linéaire pour IGH).

Critères de choix entre méthodes EC8 :

Méthode	Précision	Coût calcul	Quand utiliser
Statique équivalente	Approximation	Très faible	Bâtis réguliers, T₁ < 2s
Modale (réponse spectrale)	Bonne	Faible	Bâtis irréguliers ou élancés
Temporelle linéaire (Duhamel/Newmark)	Excellente	Moyenne	Structures critiques
Temporelle non-linéaire (pushover, time-history)	Maximale	Élevée	IGH, hôpitaux, nucléaire

Lien avec d'autres modules. Concept 2 FRF donne la réponse en fréquence (alternative à Duhamel). Concept 1 SDOF pose les bases. Application en sismique : module EC8 qui utilise les spectres calculés via Duhamel.