Alan JALIL — Directeur technique Structures Arcadis & Enseignant et animateur de formation continue — alan.jalil@estp.fr

Outils BE — Dynamique des structures (avant-projet)

Quatorze fiches de calcul rapides pour le bureau d'études en phase avant-projet (APS/APD). On saisit 3-4 paramètres, on obtient un ordre de grandeur immédiat et un verdict feu tricolore permettant de trancher avant de monter un modèle aux éléments finis. Ces fiches ne remplacent pas le calcul détaillé : elles servent à orienter une décision (vent ou séisme dominant ? confort à vérifier ? besoin d'un amortisseur ?) et à vérifier un résultat de logiciel par un calcul de coin de table. Chaque fiche renvoie au module pédagogique correspondant pour la théorie, et indique « quand ça ne suffit plus ».

Logique « feu tricolore » de chaque fiche

● VERT — pas de problème dynamique à ce stade, on continue
● ORANGE — vigilance : vérification complémentaire à prévoir en phase suivante
● ROUGE — calcul détaillé (analyse modale EF, étude spécifique) requis dès maintenant

Référentiel mobilisé

Référence	Domaine
EN 1998-1 (EC8) §3.2.2, §4.3.3.2	Spectre de réponse, période fondamentale, méthode statique équivalente
EN 1991-1-4 (EC1-1-4)	Action du vent, réponse dynamique, accélération de pointe
HIVOSS / RFCS / SCI P354	Vibration des planchers sous activité humaine
ISO 10137	Critères de confort vibratoire (bâtiments, passerelles)
Guide Sétra 2006	Passerelles piétonnes — comportement dynamique
Den Hartog / Bachmann	Pré-dimensionnement des amortisseurs accordés (TMD)
Blevins / formulaire	Fréquences propres des éléments (poutres, dalles, mâts)

Groupe A — Fréquences propres express

Fiche A1

Période fondamentale d'un bâtiment

T₁ par 4 méthodes comparées : formule EC8 C_t·H^3/4, règle 0,1·N, méthode de Rayleigh (déplacement sommet), oscillateur 1 DDL k/m. Verdict : position sur le spectre EC8 (plateau ou branche descendante) et arbitrage vent vs séisme dominant.

EC8 §4.3.3.2.2 · C_t = 0,085 / 0,075 / 0,050 · T = 0,1·N

Ouvrir →

Fiche A2

Fréquence propre d'un élément

f₁ = (λ₁²/2π)·√(EI/mL⁴) pour poutre simple, bi-encastrée, console, encastrée-appuyée, dalle, mât. Comparaison aux plages critiques (marche 1,5-2,5 Hz, course, machines). Verdict : risque de résonance avec les sollicitations courantes.

λ₁² : 9,87 / 22,4 / 3,52 / 15,4 · Blevins

Ouvrir →

Fiche A3

Période par la méthode de Rayleigh

T₁ d'une brochette multi-étagée par le quotient de Rayleigh ω² = φᵀKφ/φᵀMφ, avec la déformée statique sous le poids (formule sismique T = 2π·√(Σwδ²/g·Σfδ)). Choix de la déformée d'essai et comparaison à la solution exacte (analyse modale par itération inverse) → écart et fiabilité de l'estimation.

EC8 §4.3.3.2.2(3) · Σwδ² / g·Σfδ · borne sur ω₁

Ouvrir →

Groupe B — Séisme avant-projet (EC8)

★ MODAL 2D

Analyse modale spectrale EC8 (ossature 2D)

Au-delà de la fiche : un vrai calcul modal d'ossature plane multi-étages. Assemblage de la rigidité (diaphragmes rigides) → condensation → modes & périodes (valeurs propres) → spectre EC8 S_d(T) → SRSS/CQC : effort tranchant de base, forces & déplacements d'étage, masses modales effectives (≥90 %).

EN 1998-1 · K·φ=ω²Mφ · SRSS/CQC

Ouvrir →

★ MODAL 3D

Analyse modale 3D (torsion de plancher)

L'extension 3D : bâtiment à 6 DDL/nœud, diaphragmes rigides (U_x, U_y, θ_z) → modes classés X / Y / torsion, spectre EC8 par direction, combinaison directionnelle (30 %). Une excentricité de masse couple translation et torsion.

EN 1998-1 · 6 DDL · X/Y/θ_z, règle 30%

Ouvrir →

Fiche B1

Spectre de réponse EC8

Tracé interactif du spectre élastique S_e(T) et du spectre de calcul S_d(T) : zone (a_g), classe de sol A-E, coefficient de comportement q, amortissement ξ. Lecture directe de S_d(T₁) pour alimenter la fiche B2.

EC8 §3.2.2.2 / §3.2.2.5 · sol A-E · S, T_B, T_C, T_D

Ouvrir →

Fiche B2

Effort tranchant à la base

Méthode statique équivalente : F_b = S_d(T₁)·m·λ, distribution triangulaire des forces F_i par étage, moment renversant à la base. Verdict : % du poids total mobilisé, ordre de grandeur du contreventement à prévoir.

EC8 §4.3.3.2.2 · λ = 0,85 / 1,0 · M_renv

Ouvrir →

Groupe C — Confort & vibrations de service

Fiche C1

Confort vibratoire d'un plancher

f₁ du plancher (méthode de la flèche f ≈ 18/√δ) + estimation de l'accélération sous activité humaine. Verdict OK / limite / KO selon les classes HIVOSS et le facteur de réponse R (ISO 10137), par usage (bureau, logement, gymnase, salle de danse).

HIVOSS · SCI P354 · ISO 10137 · f₁ ≥ 8 Hz

Ouvrir →

Fiche C3

Accélération au sommet d'un IGH sous vent

Accélération de pointe a_max en tête par la méthode spectrale EC1-1-4 annexe B (réponse résonante le long du vent, turbulence atmosphérique), comparée aux courbes de confort ISO 10137 (retour 1 an) selon l'usage (résidentiel / hôtel / bureau). Alerte élancement → réponse transversale (vortex) à vérifier en soufflerie.

EC1-1-4 annexe B · ISO 10137 · milli-g · TMD

Ouvrir →

Groupe D — Dispositifs

Fiche D1

Pré-dimensionnement d'un TMD (Den Hartog)

Accord optimal d'un amortisseur à masse accordée : f_opt = f_s/(1+µ), ξ_opt = √(3µ/8(1+µ)³). Saisie du ratio de masse µ visé → masse du TMD, fréquence et amortissement cibles, réduction du pic d'amplification obtenue.

Den Hartog · µ = m_TMD/M · réduction √(1+2/µ)

Ouvrir →

Fiche D2

Isolation vibratoire d'une machine

Choix des plots élastiques sous machine tournante : transmissibilité T_R = √(1+(2ξr)²)/√((1−r²)²+(2ξr)²), r = f/f₀. Isolation seulement pour r > √2 ; sinon amplification. Donne l'efficacité (% de force filtrée) et la flèche statique de plot requise selon le type (ressort acier / élastomère).

Transmissibilité · r > √2 · δ_st → f₀ = 15,76/√δ

Ouvrir →

Fiche D3

Isolation vibratoire d'un bâtiment

Bâtiment posé sur appuis élastiques contre les vibrations solidiennes (ferroviaire, métro) : comparaison de 4 familles — boîtes à ressort acier (GERB), élastomère PUR (Sylomer/Sylodyn), élastomère fretté/néoprène, ressorts pneumatiques. Par solution : transmissibilité, atténuation en dB, flèche statique, raideur par appui. Met en évidence le compromis f_n basse ↔ flèche.

Transmissibilité · r > √2 · −20·log₁₀T [dB] · δ_st = 248,5/f_n²

Ouvrir →

Fiche D4

Modes de corps rigide d'un bâtiment isolé

Les 6 fréquences propres du bâtiment sur appuis : pompage, 2 translations, roulis, tangage, lacet. Les modes de rotation sont couplés au ballant par la hauteur du CdG (h_cg) — souvent plus hauts que le pompage. Vérifie que les 6 modes restent < f_exc/√2 (isolation dans toutes les directions). Complète la fiche D3.

6 DDL · couplage ballant-rotation (2×2) · det(K−ω²M)=0

Ouvrir →

Fiche D5

Implantation excentrée des appuis (6×6)

Quand le centre de masse ≠ centre de raideur (appuis non symétriques, masse désaxée) : l'excentricité e couple le ballant et le lacet (torsion). Assemblage de la matrice de raideur 6×6 et résolution par diagonalisation de Jacobi → les 6 fréquences réelles, leur nature couplée, et l'amplification de torsion aux coins. Contrôle : à e=0 on retrouve D4.

6×6 · e_x, e_y, e/ρ · Jacobi · couplage ballant-lacet

Ouvrir →

Fiche D6

Raideurs d'appui non uniformes

Appuis de raideurs différentes (gradient) : le centre de raideur se calcule (Σk·position/Σk) et s'écarte du CdG. Donne la répartition des charges par appui (équilibre rigide → appui le plus chargé, soulèvement éventuel), le couplage ballant-torsion et les 6 modes. À gradient nul, on retrouve D4.

CR = Σk·x/Σk · charges par appui · 6×6 Jacobi

Ouvrir →

Groupe E — Actions accidentelles

Fiche E1

Chute de charge sur dalle

Impact accidentel d'une charge lâchée en chantier (levage, banche, benne) : bilan d'énergie — l'énergie de chute m·g·h doit être absorbée par la déformation plastique de la dalle (mécanisme de flexion, rotules). Verdict sur le mécanisme global ; le poinçonnement local est signalé comme vérification dédiée. Tri rapide : dalle courante suffisante ou étude détaillée requise ?

E = m·g·h · E_cap = M_Rd·θ_p·L_r · E ≤ E_cap

Ouvrir →

Mode d'emploi & limites

Chaînage type d'un avant-projet — (1) A1 donne T₁ → on sait si on est sur le plateau du spectre ; (2) B1 donne S_d(T₁) ; (3) B2 donne F_b et le % de poids → ordre de grandeur des voiles ; en parallèle (4) A2 et C1 vérifient le confort des planchers, et C3 le confort en tête sous vent ; (5) si un problème vibratoire apparaît, D1 chiffre une parade par TMD, D2 traite l'isolation d'une machine vibrante, et D3 compare les solutions d'isolation vibratoire d'un bâtiment entier (boîtes à ressort, élastomères) contre les vibrations ferroviaires, et D4 en calcule les 6 modes de corps rigide (pompage, roulis, tangage, lacet), et D5 traite l'implantation excentrée (couplage ballant-torsion, problème 6×6), et D6 les raideurs d'appui non uniformes (centre de raideur calculé, répartition des charges par appui).

Actions accidentelles — E1 trie une chute de charge de chantier sur dalle par bilan d'énergie (énergie de chute vs énergie plastique capable).

Quand ces fiches ne suffisent plus — bâtiment irrégulier en plan ou en élévation, H/L > 4, modes supérieurs significatifs, interaction sol-structure marquée, structures spéciales : passer à l'analyse modale spectrale (EF — Robot, ETABS, SAP2000, Scia, RFEM) et aux modules pédagogiques détaillés.

Modules pédagogiques liés — Mécanique Vibratoire (SDOF, FRF, TMD, modes propres), Mécanique des Structures et Parasismique (spectre, effort sismique, analyse modale), Parasismique (FRS, CSM, réservoirs), Vent & aéroélasticité (gratte-ciel ISO 10137, vortex shedding), Interaction sol-structure (impédances, SDOF, spectre).

Avertissement — outils d'ordre de grandeur destinés à l'avant-projet. Les valeurs réglementaires (a_g, S, T_B/T_C/T_D, q, ψ, γ) doivent être confirmées par l'annexe nationale française en vigueur et le contexte du projet. Aucun résultat ne dispense d'une note de calcul signée.