Quand un plancher, une passerelle ou un IGH présente une fréquence gênante, l'amortisseur à masse accordée (TMD) est la parade la plus courante. Cette fiche applique les formules d'accord optimal de Den Hartog : on choisit un ratio de masse µ et on obtient la fréquence d'accord fopt, l'amortissement optimal ξopt, la masse du TMD et surtout la réduction du pic d'amplification obtenue. Outil de faisabilité : le calage fin se fait ensuite sur modèle 2 DDL avec l'amortissement réel de la structure.
Accord optimal (système principal non amorti — Den Hartog 1947)
µ = m_TMD / M* (ratio de masse, typiquement 1 à 5 %)
Rapport d'accord optimal :
f_opt / f_s = 1 / (1 + µ)
→ f_opt = f_s / (1 + µ)
Amortissement optimal du TMD :
ξ_opt = √( 3µ / (8·(1 + µ)³) )
Raideur et amortisseur du TMD :
k_TMD = m_TMD · (2π·f_opt)²
c_TMD = 2·ξ_opt·m_TMD·(2π·f_opt)
Efficacité (amplification dynamique au pic)
Sans TMD (structure seule) : facteur d'amplification au pic D₀ ≈ 1/(2·ξ_s)
Avec TMD optimal (points fixes de Den Hartog) : D_TMD ≈ √(1 + 2/µ)
Réduction = 1 − D_TMD / D₀
Amortissement « ajouté » équivalent à la structure (ordre de grandeur) :
ξ_eff ≈ ξ_s + µ·... → en pratique on vise D_TMD ≤ cible de confort.
Règles de bon sens (avant-projet)
• µ usuel : 1-2 % (passerelles, planchers), jusqu'à 3-5 % (IGH — ex. Taipei 101 ≈ 0,24 %... masse énorme).
• Plus µ est grand, plus le TMD est efficace ET robuste au désaccord — mais lourd et coûteux.
• Le TMD doit être placé là où l'amplitude modale est maximale (sommet, mi-portée).
• Sensibilité au désaccord : un écart de ±5 % sur f dégrade vite l'efficacité → masse réglable.
Quand ça ne suffit plus — structure déjà bien amortie, plusieurs modes à traiter (multi-TMD), amortisseurs semi-actifs/actifs, calage in-situ par OMA : étude dédiée + modèle 2 DDL complet. Théorie et cas réels : Mécanique Vibratoire (TMD Den Hartog, anti-résonance de Frahm), Vent (confort des gratte-ciel).