Un bâtiment posé sur appuis élastiques est un corps rigide à 6 degrés de liberté : pompage vertical, deux translations horizontales, roulis, tangage, lacet. La fiche D3 ne traite que le pompage ; or les modes de rotation (roulis/tangage) — couplés au ballant par la hauteur du centre de gravité h_cg au-dessus du plan d'isolation — sont souvent les plus hauts en fréquence et donc les plus contraignants. Cet outil calcule les 6 fréquences propres et vérifie qu'elles restent toutes bien en-dessous de f_exc (idéalement < f_exc/√2), condition d'une isolation effective dans toutes les directions.
① Raideurs des appuis (à partir de la f_pompage visée)
k_z = m·(2π·f_z)²/n (raideur verticale par appui) ; k_h = α·k_z (raideur horizontale)
Appuis répartis sur l'emprise : Σx² ≈ n·L_x²/12 ; Σy² ≈ n·L_y²/12
② Modes découplés
Pompage (z) : f_z = (1/2π)·√(n·k_z/m)
Lacet (θz) : f = (1/2π)·√[k_h·n·(L_x²+L_y²)/12 / I_z] , I_z = m·(L_x²+L_y²)/12
(ici f_lacet = f_ballant horizontal = (1/2π)√(n·k_h/m) si appuis uniformes)
③ Modes couplés ballant ↔ rotation (problème 2×2)
Roulis-ballant (y, θx) : M = diag(m, I_x), I_x = m·(L_y²+H²)/12
K_yy = n·k_h ; K_θθ = k_z·n·L_y²/12 + n·k_h·h_cg² ; K_yθ = −n·k_h·h_cg
Tangage-ballant (x, θy) : idem avec L_x², I_y = m·(L_x²+H²)/12
det(K − ω²M) = 0 → 2 fréquences (basse « ballant », haute « rotation »)
Si h_cg = 0 (CdG dans le plan d'isolation) → découplage : ballant et rotation séparés
Lecture — toutes les fréquences doivent rester < f_exc/√2 pour que chaque DDL soit isolée. Le mode le plus haut (souvent une rotation si h_cg est grand ou l'emprise faible) fixe la marge. Augmenter h_cg écarte les modes couplés (le haut monte) : un bâtiment élancé sur appuis bas est plus sensible au roulis/tangage.
Points de vigilance — (a) abaisser le plan d'isolation (h_cg ↑) ou rétrécir l'emprise aggrave les rotations ; centrer le CdG sur le centre de raideur évite le couplage lacet/translation ; (b) hypothèse corps rigide (bâtiment infiniment raide vs appuis) et inertie de boîte homogène — pour une masse non uniforme, recalculer I_x, I_y, I_z ; (c) amortissement négligé pour les fréquences (effet faible). Quand ça ne suffit plus : modèle EF rigide-corps complet (6×6 couplé, appuis non symétriques), couplage sol-structure. Voir D3 (atténuation) et Mécanique Vibratoire.