Fréquence fondamentale de flexion d'un élément linéique par la formule classique f1 = (λ1²/2π)·√(EI/(m·L⁴)), où λ1 dépend des conditions d'appui. On compare le résultat aux plages d'excitation courantes (marche 1,5-2,5 Hz et son 2e harmonique, course, machines tournantes) pour détecter un risque de résonance. Outil d'ordre de grandeur : la masse participante réelle et les masses ajoutées (revêtements, cloisons, foule) doivent être intégrées dans m.
Formule des fréquences propres (Blevins, formulaire RDM dynamique)
f_n = (λ_n² / 2π) · √(EI / (m·L⁴)) [m = masse par unité de longueur, kg/m]
Coefficients λ₁² du mode fondamental :
— Simplement appuyée : λ₁² = π² = 9,87
— Bi-encastrée : λ₁² = 22,37
— Encastrée-libre (console) : λ₁² = 3,516
— Encastrée-appuyée : λ₁² = 15,42
Pour une dalle, utiliser une bande de 1 m et corriger par les conditions de bord (effet 2D
qui rigidifie : f_dalle > f_bande). Ce calcul donne une borne basse sécuritaire.
Plages critiques d'excitation
| Source | Fréquence fondamentale | Harmoniques à surveiller |
|---|---|---|
| Marche | 1,5 – 2,5 Hz | 2f (3-5 Hz), 3f (4,5-7,5 Hz) |
| Course | 2,5 – 3,5 Hz | 2f (5-7 Hz) |
| Danse / aérobic / foule rythmée | 1,5 – 3,0 Hz | 2f, 3f |
| Machine tournante | f = RPM/60 | balourd à 1f, parfois 2f |
Règle d'or planchers — viser f₁ ≥ 8 Hz (voire 5 Hz minimum) pour sortir du domaine des harmoniques de marche. En-dessous, vérifier l'accélération (fiche C1). Pour une machine, viser un rapport de fréquences f₁/f_machine éloigné de 1 (idéalement < 0,7 ou > 1,4).
Quand ça ne suffit plus — masses ponctuelles importantes, continuité multi-travées, effet de dalle 2D, planchers mixtes connectés : analyse modale EF. Théorie : Mécanique Vibratoire.