Quand le centre de masse (CdG) ne coïncide pas avec le centre de raideur (CR) des appuis — masse désaxée, noyau excentré, appuis non symétriques — les modes ne se découplent plus en blocs 2×2 (fiche D4) : l'excentricité e couple le ballant et le lacet (torsion), exactement comme l'irrégularité en plan en parasismique. Cet outil assemble la matrice de raideur 6×6 à partir de l'excentricité et résout le problème aux valeurs propres (méthode de Jacobi) → les 6 fréquences réelles et la nature couplée de chaque mode. Contrôle : à e = 0, on retrouve exactement les modes découplés de D4.
① Matrice de raideur 6×6 (autour du CdG)
Chaque appui i (position x_i, y_i, z_i = −h_cg, raideurs k_x=k_y=k_h, k_z) : déplacement du point
δ = u + θ×r ; K = Σ Bᵢᵀ·diag(k_x,k_y,k_z)·Bᵢ (B = matrice cinématique 3×6)
Sommes (appuis répartis, CdG excentré de e) : Σx² = n(L_x²/12 + e_x²), Σy² = n(L_y²/12 + e_y²),
Σxy = n·e_x·e_y, Σx = −n·e_x, Σy = −n·e_y
Couplages activés par e : ballant_X ↔ lacet (n·k_h·e_y), ballant_Y ↔ lacet (−n·k_h·e_x),
pompage ↔ roulis/tangage (k_z·e), roulis ↔ tangage (−k_z·n·e_x·e_y)
② Modes propres
M = diag(m, m, m, I_x, I_y, I_z) ; I_x = m(L_y²+H²)/12, I_y = m(L_x²+H²)/12, I_z = m(L_x²+L_y²)/12
Problème K·φ = ω²·M·φ → réduction A = M^(−1/2)·K·M^(−1/2), diagonalisation de Jacobi
6 fréquences f = √(ω²)/2π ; chaque mode caractérisé par sa composante dominante (couplage)
Excentricité e = √(e_x²+e_y²) ; rayon de giration ρ = √((L_x²+L_y²)/12) ; e/ρ pilote le couplage
Lecture — l'excentricité scinde les fréquences (l'une monte, l'autre descend) et produit des modes mixtes ballant + torsion. La rotation de lacet amplifie le déplacement des coins éloignés du CR (facteur ≈ 1 + e·d/ρ²). Tant que toutes les fréquences restent < f_exc/√2, l'isolation tient ; mais la torsion peut dégrader le confort et surcharger certains appuis.
Points de vigilance — (a) centrer le CR sur le CdG (redistribuer/raidir les appuis du côté léger) est le meilleur remède — viser e/ρ < 0,1 ; (b) la torsion déséquilibre les charges par appui (vérifier l'appui le plus chargé) ; (c) hypothèses corps rigide + inertie de boîte homogène + appuis uniformément répartis. Quand ça ne suffit plus : disposition réelle appui par appui (assemblage discret), raideurs variables, modèle EF. Voir D4 (symétrique) et D3 (atténuation).