La méthode de Rayleigh estime la période fondamentale T1 d'une structure multi-étagée à partir d'une déformée d'essai φ, par égalité des énergies maximales : ω² = (φᵀKφ)/(φᵀMφ). En prenant pour φ la déformée statique sous le poids appliqué horizontalement (déformée de Rayleigh), on obtient la formule sismique usuelle T = 2π·√(Σwiδi² / (g·Σfiδi)). La fiche compare l'estimation à la solution exacte (analyse modale) et montre la sensibilité au choix de la déformée d'essai.
Quotient général : ω² = φᵀKφ / φᵀMφ (K = matrice de raideur, M = masses)
Brochette (shear building) : φᵀKφ = Σ k_p·(δ_p − δ_{p−1})² ; φᵀMφ = Σ m_i·φ_i²
Déformée statique : δ = K⁻¹·w (w_i = m_i·g appliqués horizontalement) → T = 2π·√(Σw_i δ_i² / g·Σw_i δ_i)
Exact : itération inverse sur D = K⁻¹M → ω₁², mode φ₁
Propriété fondamentale : pour toute déformée d'essai φ, le quotient de Rayleigh surestime ω₁² (donc sous-estime T₁) — il fournit une borne. L'erreur est minimale quand φ est proche du vrai mode : la déformée statique est un excellent choix (erreur typiquement < 1–2 %), bien meilleur qu'une approximation linéaire.
Verdict (écart Rayleigh / exact) : < 2 % (excellent) · 2–5 % (acceptable) · > 5 % (déformée d'essai à améliorer).
Voir aussi la fiche A1 (4 méthodes comparées, dont Rayleigh à 1 DDL) et le module pédagogique Mécanique Vibratoire.