En surélevant un bâtiment, on augmente sa hauteur H et son poids cumulé P. Cela accroît mécaniquement les effets P-Δ — effets du second ordre où le déplacement horizontal Δ génère un moment additionnel P·Δ qui aggrave la déformée. Si ce mécanisme est amplifié au-delà d'un seuil critique, on entre dans l'instabilité par flambement global du bâtiment. EC8 §4.4.2.2 (parasismique) et EC3 §5.2 (acier) codifient le contrôle de ces effets via le coefficient θ. Critères seuils : θ ≤ 0,10 (négligeable), 0,10 < θ ≤ 0,20 (à amplifier), θ > 0,30 (interdit). Cette page anime le calcul et illustre les solutions.
① Principe physique — effet P-Δ. Quand un bâtiment chargé verticalement (P) subit un déplacement horizontal Δ (sous vent ou séisme), la résultante P n'est plus alignée avec sa réaction. L'excentricité Δ crée un moment additionnel M_P-Δ = P·Δ qui aggrave la déformée et donc le moment :
Sans P-Δ (théorie premier ordre) :
M = F·h
Avec P-Δ (théorie second ordre) :
M_total = F·h + P·Δ
Mais Δ dépend de M_total → boucle d'amplification.
Si k = raideur latérale : Δ_2 = M_total · h / k, et M_total = F·h + P · Δ_2
Résolution :
Δ_2 = (F·h²/k) / (1 - P·h/k) = Δ_1 / (1 - θ)
θ = P·Δ_1 / (F·h) est le coefficient d'amplification P-Δ
② Coefficient θ EC8 §4.4.2.2(2) :
Pour chaque étage i :
θ_i = P_tot,i · d_r,i / (V_tot,i · h_i)
avec :
P_tot,i = poids total au-dessus de l'étage i (kN)
d_r,i = drift inter-étage (déplacement relatif, mm)
V_tot,i = effort tranchant à l'étage i (kN)
h_i = hauteur de l'étage i (m)
Critères EC8 §4.4.2.2(3) :
θ ≤ 0,10 : effets P-Δ négligeables, pas d'amplification requise
0,10 < θ ≤ 0,20 : amplifier les efforts par facteur 1/(1-θ)
0,20 < θ ≤ 0,30 : analyse non-linéaire second ordre obligatoire
θ > 0,30 : configuration interdite (instabilité quasi-imminente)
③ Pourquoi la surélévation aggrave P-Δ ? Trois facteurs simultanés :
① P augmente : poids cumulé sur les fondations augmente (+ 20-40 % typique)
② H augmente : la hauteur totale s'accroît, le bras de levier Δ_max grandit
③ k souvent diminue : la rigidité globale par étage peut être inférieure si surélévation légère
(acier ou bois avec contreventement moins rigide que voile BA d'origine)
Combinaison : θ ∝ P × H / k augmente fortement avec la surélévation
Cas typique : θ × 2 à 4 après ajout de 2-3 niveaux
Si bâtiment existant a θ = 0,12, après surélévation θ peut atteindre 0,25-0,35 → INTERDIT.
④ Cas pratique — bâtiment R+6 (BA) surélevé R+8 (CLT bois) :
Existant R+6 (béton) :
P_total = 6 × 500 = 3 000 t = 30 MN
Vent F = 400 kN, Δ = 25 mm en tête
θ_existant = 30 000 · 0,025 / (400 · 18) = 0,10 (limite OK)
Après surélévation +2 niveaux (CLT) :
P_total = 3 000 + 2 × 200 = 3 400 t = 34 MN
Vent F = 480 kN (recalcul, voir Module 7), Δ = 36 mm en tête
θ_après = 34 000 · 0,036 / (480 · 24) = 0,106
→ Léger dépassement, à amplifier par 1/(1-0,106) = 1,12
→ Vérifier que les contreventements supportent 12 % d\'efforts supplémentaires.
⑤ Vérification numérique Δ — équation simplifiée par étage :
Méthode itérative simplifiée (premier ordre suffit si θ < 0,2) :
Pour chaque étage i (de bas en haut) :
d_r,i = (V_i · h_i) / k_i (drift premier ordre)
Coefficient :
θ_i = P_i · d_r,i / (V_i · h_i) = P_i / k_i
θ_i ne dépend que de P_i / k_i — rapport entre poids cumulé et rigidité de l\'étage.
Cela permet d\'identifier les étages les plus pénalisants : généralement les étages bas
(P_i maximal en pied).
⑥ Solutions pour réduire θ après surélévation :
| Solution | Effet | Coût relatif |
|---|---|---|
| ① Réduire poids surélévation (bois CLT ou acier léger) | P_total ↓ → θ ↓ | économique en exploitation |
| ② Renforcer voiles de contreventement existants (chemisage BA) | k ↑ → θ ↓ → drift ↓ | moyen (~ 100 €/m²) |
| ③ Ajouter voiles BA nouveaux dans la surélévation | k ↑ étages ajoutés | économique |
| ④ TMD au sommet (voir Module 2) | Δ ↓ par dissipation modale | moyen (~ 30-50 €/m² bâtiment) |
| ⑤ Méga-portique avec outriggers | k ↑↑ par effet bras de levier | élevé |
| ⑥ Réduire la hauteur ajoutée | H ↓ → θ ↓ | perte de surface utile |
⑦ Cas particulier IGH bois CLT — vigilance accrue. Les IGH bois (Mjøstårnet 85 m, HoHo Wien 84 m, Ascent 86 m USA) ont des élancements H/B élevés et des modules d\'élasticité moindres :
E_CLT ≈ 12 GPa vs E_béton ≈ 33 GPa → k_CLT plus faible
Δ_max plus important sous vent ou séisme
→ θ atteint plus vite la limite EC8
Solutions pour IGH bois :
— Noyau central béton armé (cage escalier) qui prend tout l\'effort horizontal
— Méga-poteaux acier ou BA aux 4 coins
— Outriggers à mi-hauteur
— TMD au sommet (cas Mjøstårnet : TMD 28 t à f₁ = 0,5 Hz)
Programme DYNATTB (voir Cas DYNATTB)
Vérification additionnelle — instabilité du contreventement. Au-delà de θ, vérifier que :
α_cr = F_cr,sismique / F_Ed ≥ 10 (EC8 §4.4.2.2(1)) pour analyse premier ordre
Sinon analyse second ordre ou non-linéaire géométrique
α_cr peut être calculé par analyse modale linéaire avec géométrie déformée
ou approximativement comme F_cr / P · h / Δ_1 par étage
Lien avec d'autres modules. Module 3 (Diagnostic) fournit les rigidités existantes. Module 1 (Analyse modale) calcule les rigidités totales avant/après. Module 7 (Vent & séisme) donne F et donc V_tot,i.