Comparaison directe des trois premiers modes propres d'un bâtiment de type brochette (modèle de cisaillement, masses concentrées par étage), avant et après surélévation. La masse et la raideur des étages ajoutés dépendent du matériau retenu (béton armé, acier, bois CLT). Le calcul résout le problème aux valeurs propres généralisé K·φ = ω²·M·φ par diagonalisation de Jacobi. Sortie : fréquences propres fn, périodes Tn, déformées modales φn(z), masses modales effectives Mn*/Mtot avant/après — pour visualiser l'élongation de période fondamentale, l'apparition de modes locaux dans la surélévation souple, et le redéploiement de la participation modale.
Modèle de brochette MDOF — N étages de masses lumped (mi) reliés par des ressorts de cisaillement (ki) ; chaque ki = K_storey représente la raideur latérale globale du niveau. Matrice de masse M = diag(m1, …, mN), matrice de raideur K tridiagonale : Kii = ki + ki+1, Ki,i+1 = −ki+1.
Valeurs propres généralisées : K·φn = ωn²·M·φn. Transformation symétrique K̃ = M−½·K·M−½, diagonalisation de Jacobi. Modes triés par fréquence croissante. Masses modales effectives : Mn* = (φnTM·1)² / (φnTM·φn).
Valeurs par défaut des matériaux (surface plancher type 400 m²) :
Béton armé : 600 t/étage, 250 MN/m (BA traditionnel sur appuis béton)
Acier : 250 t/étage, 100 MN/m (structure légère, portiques métalliques)
Bois CLT : 180 t/étage, 120 MN/m (panneaux croisés, masse minimale)
Lecture pédagogique — La surélévation modifie deux paramètres simultanément : (i) la masse totale augmente, allongeant T1 ; (ii) la raideur ajoutée redistribue les modes. Le bois CLT est typiquement le meilleur choix sismique : faible masse ajoutée, T1 peu modifié, fondations existantes souvent suffisantes. Le béton armé ajoute beaucoup de masse → T1 allongé fortement, fondations à vérifier. L'acier ajoute peu de masse mais sa raideur faible peut créer un niveau souple en tête (cf. critère EC8 §4.2.3.3 sur la régularité en élévation : ki+1/ki ≥ 0,7).
Apparition de modes locaux — Lorsque la surélévation est nettement plus souple que la partie existante (acier sur béton, par exemple), le mode 2 ou 3 peut devenir un mode local à la surélévation avec déformée concentrée dans les étages ajoutés et faible masse modale effective : signal d'alerte pour le contrôleur d'exécution.