Une surélévation correctement dimensionnée — masse, raideur et amortissement choisis — joue exactement le rôle d'un amortisseur à masse accordée (Tuned Mass Damper, TMD) sur le bâtiment existant. Le mécanisme est celui de Frahm (1909) et Den Hartog (1956) : une masse secondaire m2 = μ·m1 couplée au sommet de la structure primaire par un ressort k2 et un amortisseur c2 oscille en opposition de phase à la fréquence de résonance, absorbant l'énergie sismique avant qu'elle ne déforme la structure principale. Les paramètres optimaux de Den Hartog sont f2/f1 = 1/(1+μ) et ξ2,opt = √[3μ/(8(1+μ)³)]. Cette page compare le bâtiment seul et le bâtiment avec surélévation-TMD sous le même mouvement sismique, en temps réel et en réponse fréquentielle.
Système 2-DDL — masse primaire m1 au niveau du dernier plancher avant surélévation (sommet de l'existant ; c'est ce même point physique qui est suivi avant/après surélévation) couplée par ressort k2 et amortisseur c2 à la masse de surélévation m2 = μ·m1. Équations sous excitation à la base ag(t) :
m1·ü1 + (c1+c2)·u̇1 − c2·u̇2 + (k1+k2)·u1 − k2·u2 = −m1·ag
m2·ü2 + c2·(u̇2−u̇1) + k2·(u2−u1) = −m2·ag
Tuning optimal de Den Hartog (1956) — pour ξ1 ≈ 0, primaire en régime forcé harmonique à f1 :
Rapport de fréquences optimal : f2,opt/f1 = 1/(1+μ)
Amortissement TMD optimal : ξ2,opt = √[3μ/(8(1+μ)³)]
Amplification résiduelle : (DAF)opt = √(2/μ + 1) (au lieu de 1/(2ξ1) pour le primaire seul)
Mécanisme physique — à la résonance ω = ω1, le TMD oscille avec une amplitude bien supérieure au primaire, en opposition de phase. L'énergie sismique est transférée du primaire vers le TMD, où elle est dissipée par l'amortisseur c2. Le pic unique sharp de la structure seule se scinde en deux pics jumeaux d'amplitude moindre (« split peak »), élargissant la bande passante sans creuser de creux dangereux.
Application aux surélévations — μ = 0,15 à 0,30 typique d'une surélévation 2 à 4 niveaux sur un R+5 à R+8. Le bois CLT (faible masse, amortissement intrinsèque 5 à 8 %) ou l'acier avec isolateurs élastomère à l'interface (ξ2 ajustable 15 à 25 %) sont les configurations qui se rapprochent du tuning optimal de Den Hartog. La pratique japonaise et néo-zélandaise documente plusieurs cas de roof TMD conçus comme surélévation fonctionnelle (Kobori 1996 ; Sahin et al. 2010 ; recommandations FEMA 451).
Limites — le TMD est efficace uniquement autour de la fréquence sur laquelle il est accordé : il filtre la résonance fondamentale mais ne réduit pas la réponse aux modes supérieurs ni aux séismes très impulsionnels (near-fault). La masse modale effective du mode 1 doit dominer (typiquement > 70 %) pour que l'analogie 2-DDL soit valide.