SSISUB — ISS par sous-structures, fonctions de transfert

Réponse sismique d'un bâtiment en interaction sol-structure par la méthode des sous-structures, dans le domaine fréquentiel — la démarche d'un calcul ISS de référence ramenée à un modèle plan semi-analytique. Le bâtiment est une brochette de N masses (cisaillement) posée sur une base rigide à 2 ddl (translation u_f + balancement θ) reliée au sol par les impédances de fondation K_x+iωC_x (translation) et K_r+iωC_r (balancement), à reprendre d'IMPED / STRAT / PYCAP / PYDYN. Sous un mouvement de champ libre (FIM) unitaire, on résout à chaque fréquence le système complexe couplé et on trace les fonctions de transfert déplacement plancher / champ libre — comparées au cas base fixe pour isoler la signature de l'ISS (allongement de période et amortissement de rayonnement).

Chaîne complète (amont → structure). Le FIM n'est plus une donnée : il est construit par la chaîne d'ISS. Amont — une colonne de sol (option SITE1D) amplifie le mouvement rocheux → champ libre de surface A_ff(f). Interaction cinématique — la fondation rigide encastrée à la profondeur e ne suit pas le champ libre : fonctions de transfert cinématiques (Elsabee & Morray) en translation H_u(f) = cos(a₀_e) et balancement induit H_φ(f) = 0,257·(1−cos a₀_e), a₀_e = ω·e/V_s → FIM (U_g, φ_g) qui pilote l'interaction inertielle.

Formules & hypothèses

Inconnues à chaque pulsation ω = 2πf : déformations d'étage U_s(1..N) relatives à la base, translation de base U_f, rotation de base Θ. Mouvement total du plancher i : U_i^t = U_g + U_f + h_i·Θ + U_s,i ; fonction de transfert H_i = U_i^t / U_g (champ libre U_g = 1).
(A) masse i : (K_s(1+2iζ_s) − ω²M_s)U_s − ω²M_s·1·U_f − ω²M_s·h·Θ = ω²M_s·1
(B) translation : −ω²1ᵀM_sU_s + (K_x+iωC_x − ω²m_tot)U_f − ω²(1ᵀM_sh)Θ = ω²m_tot
(C) balancement : −ω²hᵀM_sU_s − ω²(hᵀM_s1)U_f + (K_r+iωC_r − ω²(hᵀM_sh+I₀))Θ = ω²(hᵀM_s1)
K_s = matrice de cisaillement tridiagonale (raideurs d'étage k) ; amortissement structurel hystérétique Ks(1+2iζ_s) ; impédances de fondation = ressort statique + amortisseur de rayonnement C (dépendance en fréquence reprise d'IMPED/STRAT si besoin) ; I₀ ≈ m₀·B²/3.

Amont (champ libre) : A_ff(f) = |surface / affleurement rocheux| d'une colonne de sol (propagation d'ondes SH 1D, matrices de Thomson-Haskell, modules complexes) — moteur partagé avec SITE1D.
Interaction cinématique (fondation rigide encastrée à e, onde SV verticale — Elsabee & Morray 1977) : a₀_e = ω·e/V_s ; H_u = cos(a₀_e), planchée à 0,453 ; H_φ = 0,257·(1−cos a₀_e), plafonnée à 0,257.
FIM (mouvement d'input de fondation), rapporté au champ libre de surface : U_g = H_u ; φ_g = H_φ·U_g/e (rotation d'assise). Chaîne complète rocher→toit = A_ff(f)·H_toit(f).

Portée du modèle. La méthode des sous-structures de référence résout l'ISS (méthode du volume flexible / soustraction) sur un maillage EF 3D du sol et de la structure, avec diffraction de l'onde incidente calculée par couplage complet. Cet outil reprend la même chaîne fréquentielle (sous-structures, transfert complexe, comparaison base souple / base fixe) avec un modèle réduit : structure en brochette plane, base rigide sway-rocking, impédances semi-analytiques, cinématique par fonctions de transfert fermées (Elsabee) au lieu du couplage EF complet. Domaine de validité : fondation rigide simple, sol horizontalement stratifié, onde verticale — avant-projet, pré-dimensionnement et calage d'un modèle EF détaillé, pas une note de qualification. La convolution FFT du FIM (histoires temporelles) et les spectres de plancher (ISRS) découlent directement de H(ω) — extension naturelle.

Références. Kausel & Roësset (1974) ; Elsabee & Morray (interaction cinématique, fondation encastrée, 1977) ; Wolf, Dynamic Soil-Structure Interaction (1985) ; Veletsos & Meek (1974) ; NIST GCR 12-917-21 ; ASCE 4-16 ; ASCE 7-22 §19. Modules liés : IMPED, STRAT, PYCAP, SSIINE, SITE1D, PYKIN.