Une fois l'effort tranchant total Fb à la base déterminé (méthode statique équivalente, EC8 §4.3.3.2), il faut le répartir étage par étage pour calculer les efforts Fi sur chaque niveau, puis les moments de renversement M(z) et les efforts tranchants étage V(z). EC8 §4.3.3.2.3 propose une répartition triangulaire du déplacement (mode propre fondamental approché). Cette page anime le calcul.
Hypothèse de la méthode EC8 §4.3.3.2.3 — mode propre triangulaire. Pour un bâtiment régulier multi-étages, le mode propre fondamental (premier mode) a une forme proche d'une droite : déplacement nul en pied (encastrement) et maximal en sommet. Cette hypothèse simple permet de répartir l'effort sismique :
Distribution EC8 §4.3.3.2.3(2) :
F_i = F_b · (s_i · m_i) / Σ(s_j · m_j)
avec :
s_i = déplacement modal au niveau i (m)
m_i = masse au niveau i (kg)
Si on prend s_i proportionnel à z_i (mode triangulaire EC8 §4.3.3.2.3(3)) :
F_i = F_b · (z_i · m_i) / Σ(z_j · m_j)
Forme : croissante linéairement avec la hauteur z (pondéré par la masse à chaque étage).
Calcul des efforts tranchants et moments par étage :
Effort tranchant à l'étage k (intégration depuis le haut) :
V_k = Σ_{i ≥ k} F_i (kN)
Moment de renversement à l'étage k (sommation de F_i × bras de levier) :
M_k = Σ_{i ≥ k} F_i · (z_i - z_k) (kNm)
Au pied (k = 0) :
V_pied = F_b (par définition)
M_pied = Σ F_i · z_i (moment renversant total)
Exemple R+5 régulier — calcul manuel (N = 6, h = 3 m, F_b = 600 kN, m_i = 100 t/étage) :
| Étage | z_i (m) | m_i (t) | z_i·m_i | F_i (kN) | V (kN) | M (kNm) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| RDC | 3 | 100 | 300 | 29 | 600 | 0 |
| R+1 | 6 | 100 | 600 | 57 | 571 | 87 |
| R+2 | 9 | 100 | 900 | 86 | 514 | 258 |
| R+3 | 12 | 100 | 1200 | 114 | 428 | 515 |
| R+4 | 15 | 100 | 1500 | 143 | 314 | 858 |
| R+5 | 18 | 100 | 1800 | 171 | 171 | 1286 |
| Total | 600 | 6300 | 600 | 6 300 kNm (au pied) |
On observe que les efforts F_i augmentent avec la hauteur (mode triangulaire) : c'est l'effet de « fouet » du mode fondamental. Le moment de renversement total au pied est M = F_b · (z_eq) ≈ F_b · 0,7·H où z_eq est la hauteur « équivalente » d'application de la résultante.
Pourquoi cette répartition triangulaire ?. Théorie :
① La fréquence fondamentale d'un bâtiment vertical correspond à une déformée
proche d'une droite (premier mode flexure d'une console encastrée)
② L'accélération inertielle a_i = ω² · s_i (où s_i = déplacement modal) → proportionnelle à z
③ La force inertielle F_i = m_i · a_i = m_i · ω² · z_i ∝ m_i · z_i
④ Normalisation pour avoir Σ F_i = F_b → coefficient de répartition
L'hypothèse est exacte pour un mode propre théoriquement triangulaire — proche pour des bâtiments
réguliers à 3-15 étages. Au-delà, modes supérieurs significatifs → utiliser l'analyse modale (EC8 §4.3.3.3).
Effet supplémentaire EC8 §4.3.3.2.3(3) — effort de toiture additionnel. Pour les bâtiments avec une masse importante en toiture (équipements, terrasses lourdes), EC8 impose :
F_t = 0,07 · T₁ · F_b ≤ 0,25 · F_b
(applicable si T₁ > 0,7 s)
Cet effort F_t est ajouté à l'effort F_n du dernier étage
→ renforce la prise en compte des modes supérieurs.
Comparaison avec l'analyse modale (SRSS, CQC). Pour bâtiments irréguliers ou élancés (H/L > 4), l'analyse modale prend en compte plusieurs modes :
① Calculer les modes propres (T_i, φ_i) par éléments finis ou Rayleigh
② Pour chaque mode : F_i,mode = Γ · m_i · φ_i · S_d(T_i) (Γ = facteur participation)
③ Combinaison des modes :
— SRSS (Square Root of Sum of Squares) : F = √(Σ F_i²) — modes décorrélés
— CQC (Complete Quadratic Combination) : F = √(Σ Σ ρ_ij · F_i · F_j) — corrélation modale
Nombre de modes : retenir au moins ceux dont la somme des masses participantes > 90 %
de la masse totale (EC8 §4.3.3.3.1).
Cas particuliers de répartition non triangulaire :
| Configuration | Forme du mode | Conséquence |
|---|---|---|
| Bâtiment souple (portiques) | Triangulaire à concave | Mode 1 typique, EC8 OK |
| Bâtiment rigide (voiles dominants) | Parabolique convexe | Mode 1 cantilever, EC8 OK |
| Bâtiment IGH H/L > 5 | Combinaison modes 1-3 | EC8 modale obligatoire |
| Bâtiment avec masses lourdes en sommet | Décalé vers sommet | F_t additionnel EC8 |
| Étage souple (« soft story ») | Concentration drift | Mode dominé par étage souple — TRÈS DANGEREUX |
Le piège du « soft story ». Si un étage (souvent le RDC, par exemple un parking ouvert) est significativement moins rigide que les autres (rigidité < 70 %), le mode propre concentre tout le déplacement sur cet étage. C'est la principale cause d'effondrement parasismique des bâtiments asymétriques (Hospital Olive View 1971, Mexico 1985, séisme Northridge 1994). EC8 §4.2.3 impose une vérification spécifique.
Lien avec d'autres modules. Calcul F_b : Contrev. 2. Distribution horizontale et torsion : Contrev. 4. Méthode modale plus complète : Para 1 (analyse modale spectrale EC8 §4.3.3.3).