Para 1 — Analyse modale spectrale EC8 §4.3.3.3 : combinaison SRSS et CQC

① Quand utiliser l'analyse modale spectrale ? EC8 §4.3.3.1(8)

La méthode statique équivalente (Contrev. 2) suffit si :
— Bâtiment régulier en plan ET en élévation
— T₁ ≤ min(4·T_C, 2 s)
— Modes supérieurs < 10 % de la masse totale

L'analyse modale spectrale (Contrev. 1) est obligatoire si :
— Irrégularité en élévation (étage souple, retrait, masses inhabituelles)
— Irrégularité en plan (asymétrie, forme L/U/T)
— T₁ > 2 s (bâtiments élancés, IGH)
— Bâti complexe (couplages, transferts)

L'analyse temporelle non-linéaire (pushover, time-history) est requise pour :
— Performance-based design (ASCE 41, FEMA P-58)
— Bâtis critiques (hôpitaux, CNPE, IGH > 100 m)
— Isolation à la base

② Extraction des modes propres (problème aux valeurs propres généralisé)

Pour un bâtiment N-DDL (shear building) :
[K] · {φ_n} = ω_n² · [M] · {φ_n}

Avec :
[K] = matrice de rigidité (tridiagonale, K_ii = k_i + k_{i+1})
[M] = matrice de masse (diagonale, M_ii = m_i)
ω_n = pulsation propre du mode n
{φ_n} = vecteur propre (forme modale)

Résolution numérique :
— N ≤ 50 : Jacobi rotation (direct)
— N > 50 : Lanczos itératif (logiciels EF Robot, ETABS, SAP)

Pour shear building uniforme (m, k identiques par étage), formule analytique :
ω_n = 2 · √(k/m) · sin((2n-1)π / (2(2N+1)))
φ_n,i = sin((2n-1)·i·π / (2N+1))

③ Facteur de participation et masse modale effective

Pour chaque mode n, facteur de participation :
Γ_n = Σ(m_i · φ_n,i) / Σ(m_i · φ_n,i²)

Masse modale effective :
m*_n = (Σ m_i · φ_n,i)² / Σ(m_i · φ_n,i²)

Critère EC8 §4.3.3.3.1(3) :
Σ m*_n ≥ 90 % M_total (somme des modes retenus)
OU au moins tous les modes avec m*_n > 5 % M_total

Pour bâti régulier multi-étages :
Mode 1 : m*₁/M ≈ 80 % (mode fondamental dominant)
Mode 2 : m*₂/M ≈ 10 %
Mode 3 : m*₃/M ≈ 4 %
Σ modes 1-3 : ≈ 94 % > 90 % → 3 modes suffisent

④ Calcul des efforts modaux F_n,i

Pour chaque mode n :
1. Période T_n = 2π / ω_n
2. Accélération spectrale S_d(T_n) — lecture sur spectre EC8
3. Force au niveau i :
F_n,i = Γ_n · m_i · φ_n,i · S_d(T_n)
4. Effort tranchant total mode n :
V_n = Σ F_n,i = m*_n · S_d(T_n) · g
5. Moment de renversement mode n :
M_n = Σ F_n,i · z_i

Note : l'effort total F_b,n,modal s'écrit aussi simplement :
F_b,n = m*_n · S_d(T_n)

⑤ Combinaison des réponses modales

SRSS (Square Root of Sum of Squares) — modes décorrélés EC8 §4.3.3.3.2(2) :
E_total = √(Σ E_n²)

Conditions d'utilisation :
— Périodes propres bien séparées (T_n / T_n+1 < 0,9)
— Sinon couplage modal significatif → utiliser CQC

CQC (Complete Quadratic Combination) — modes couplés :
E_total = √(Σ Σ ρ_ij · E_i · E_j)

Coefficient de corrélation ρ_ij (Der Kiureghian 1981) :
ρ_ij = 8 · ξ² · (1 + r) · r^(3/2) / [(1-r²)² + 4·ξ²·r·(1+r)²]
avec r = ω_i / ω_j et ξ = amortissement

Pour ξ = 5 % et r = 1 : ρ = 1
Pour ξ = 5 % et r = 0,8 : ρ = 0,21 (couplage faible)
Pour ξ = 5 % et r = 0,9 : ρ = 0,52 (couplage modéré)

ABS (Somme absolue) — ultra-conservateur, rare :
E_total = Σ |E_n|
Utilisé quand on ne sait pas si modes corrélés ou non
Donne typique 1,5-2× SRSS (très conservateur)

⑥ Comparaison statique vs modale spectrale

Pour bâtiments réguliers, les deux méthodes donnent des résultats similaires :
— Statique équivalente : F_b = S_d(T_1) · m · λ avec λ = 0,85
— Modale (mode 1 seul) : F_b = m*_1 · S_d(T_1) ≈ 0,80 · m · S_d(T_1)
Donc modale ≈ 0,80 · F_b,statique / 0,85 ≈ 0,94 · F_b,statique

Pour bâtiments élancés ou irréguliers :
— Modes supérieurs significatifs (modes 2, 3)
— Effort tranchant total V_b peut être 20-30 % plus élevé avec modale
— Moment renversant M_b plus précis avec modale (effet bras de levier)
— Distribution F_i différente (modes 2-3 amplifient les niveaux supérieurs)

Note importante EC8 §4.3.3.3.2(4) :
Si V_b,modale < 0,80 · V_b,statique → forcer V_b,modale = 0,80 · V_b,statique
(sécurité minimum imposée par la statique équivalente)

⑦ Pratique en bureau d'études

Outils standard :
— Robot Structural Analysis (Autodesk)
— ETABS (CSI) — référence USA + IGH
— SAP2000 (CSI) — généraliste
— Scia Engineer (Nemetschek) — Europe
— Advance Design (GRAITEC) — France
— RFEM (Dlubal) — analyse fine

Démarche type :
1. Modéliser le bâti en 3D (poteaux, voiles, dalles avec rigidité diaphragme)
2. Définir spectre EC8 + amortissement
3. Lancer extraction modale (typiquement 15-30 modes pour bâtiment R+10)
4. Vérifier que Σ m* ≥ 90 % (sinon augmenter le nombre de modes)
5. Combinaison SRSS ou CQC selon corrélation des modes
6. Combinaison directionnelle X+Y (EC8 §4.3.3.5.1) : 100 % X + 30 % Y, etc.
7. Vérification résultats : effort tranchant, drift, contraintes

⑧ Particularités selon type de structure

Type structure	Modes dominants	Particularité
Voile BA dominant	Mode 1 (80-90 %)	Méthode statique souvent suffisante
Portique BA flexible	Modes 1-2 (90 %)	Vérifier mode 2 (cisaillement étage)
IGH élancé H/L > 5	Modes 1-5 (90 %)	Effets P-Δ + modes supérieurs
Asymétrie en plan	Modes translation + torsion	Combinaison modes couplés (CQC)
Bâti avec retrait	Modes 1-4 (90 %)	Concentration efforts au retrait
Isolation à la base	Mode 1 (95 %)	Période T₁ > 2 s → toujours modale ou temporelle

⑨ Limites et pièges

⚠ Modes très proches (T_n ≈ T_n+1) : utiliser CQC obligatoirement (SRSS sous-estime)
⚠ Bâti à torsion accidentelle (CR ≠ CM) : ajouter modes torsionnels
⚠ Modes locaux (plancher souple, poutre flexible) : peuvent fausser l'analyse globale
⚠ Diaphragme souple (bois, alvéolée mal clavetée) : modes locaux étage par étage
⚠ Élements non-structurels (cloisons rigides) : modifient la réponse modale réelle
⚠ Sol-structure (ISS) : peut augmenter T₁ de 20-50 % (à modéliser explicitement)

Lien avec d'autres modules. Contrev. 2 (Statique équivalente) pour comparaison. Contrev. 3 pour la distribution F_i. Méca vibratoire N-DDL pour la théorie modale. Module Para 2 (diagnostic existant) à venir.