Contrev. 4 — Torsion en plan : centre de masse vs centre de rigidité

Définitions clés :

C_M = centre de masse = barycentre pondéré par les masses
Pour un étage régulier : C_M ≈ centre géométrique

C_R = centre de rigidité = barycentre pondéré par les rigidités des contreventements
Coordonnées : (x_CR, y_CR) = (Σ K_i,y · x_i / Σ K_i,y, Σ K_i,x · y_i / Σ K_i,x)
avec K_i,x = rigidité du voile i selon X, K_i,y selon Y

Excentricité naturelle :
e_x = x_CM - x_CR
e_y = y_CM - y_CR

Excentricité accidentelle EC8 §4.3.2(1)P :
e_a = ± 0,05 · L_i (couvre incertitudes sur masses et rigidités)

Distribution de l'effort sismique H avec torsion. Si l'effort F_b s'applique au centre de masse, décalé du centre de rigidité d'un vecteur e, on a :

① Translation pure (effort réparti au prorata des rigidités) :
H_i,trans = F_b · K_i / Σ K_j

② Moment de torsion :
M_t = F_b · (e_naturel + e_accidentel)

③ Effort de torsion sur voile i (proportionnel à K_i · d_i) :
H_i,tors = M_t · K_i · d_i / I_p
avec d_i = distance du voile i au C_R
I_p = Σ K_j · d_j² (inertie polaire de contreventement)

④ Effort total sur voile i :
H_i = H_i,trans + H_i,tors

Calcul de la rigidité d'un voile EC8 §5. Pour un voile rectangulaire encastré en pied :

K_voile = 1 / (δ_flexion + δ_cisaillement)

δ_flexion = H³ / (3 · E · I) avec I = e · L³ / 12 (selon plan voile)
δ_cisaillement = H / (G · A_red) avec G = E/2,4, A_red = 5/6 · L · e

Pour H = 30 m (R+9), voile 3 m × 20 cm en BA :
I = 0,20 · 3³ / 12 = 0,45 m⁴
δ_f = 27000³/(3 × 33e9 × 0,45) = 4,4e-4 m/MN
Donc K_voile = 1 / 4,4e-7 = 2,27 MN/mm = 2 270 kN/mm

Règle d'or EC8 — symétrie en plan. EC8 §4.2.3 recommande fortement :

e_naturel / L_i < 30 % (régularité torsionnelle)

Si e > 0,30 · L_i : bâtiment « torsionnellement souple »
→ q × 0,8 (pénalité)
→ analyse modale obligatoire

Solutions pour réduire e :
① Symétriser les voiles en plan (cas typique R+5 : voiles aux 4 pignons)
② Diviser le bâtiment en blocs réguliers avec joints sismiques
③ Ajouter voiles dans les zones « légères » du plan (équilibrage)
④ Concentrer les voiles près du C_M (noyau central) plutôt qu'en bordure

Cas catastrophes par torsion — échec de symétrie en plan :

Cas	Date	Cause torsion	Conséquence
Hospital Olive View, Californie	1971 (San Fernando)	Asymétrie noyau ascenseur	Effondrement étage souple + torsion
Pino Suárez, Mexico	1985 (Michoacán)	Asymétrie en plan + plancher waffle	Effondrement 3 bâtiments
Various Bucharest, Roumanie	1977 (Vrancea)	Bâtis vétustes asymétriques	1 570 morts
Various, Northridge USA	1994	Étages parking « soft story » asymétriques	60 effondrements maisons individuelles
Kobe, Japon	1995	Voiles concentrés en pignon	5 500 morts, torsion responsable

Méthode simplifiée EC8 §4.3.2 — analyse statique avec excentricité accidentelle :

Calculer 4 cas :
Cas 1 : F_b à C_M + e_a = +0,05·L_x (cas pire torsion +)
Cas 2 : F_b à C_M - e_a = -0,05·L_x (cas pire torsion -)
Cas 3 : F_b à C_M + e_a = +0,05·L_y
Cas 4 : F_b à C_M - e_a = -0,05·L_y

L'effort de dimensionnement de chaque voile = enveloppe des 4 cas.

Indicateur de régularité torsionnelle EC8 §4.2.3.2(6) :

Rayon de rigidité torsionnelle r :
r² = I_p / Σ K_i (mètres²)

Rayon de masse l_s :
l_s² = (L² + B²) / 12 (mètres²)

Bâtiment régulier en torsion si :
r ≥ l_s   (rigidité torsionnelle suffisante)
e_naturel / L ≤ 30 % (asymétrie modérée)

Si r < l_s : bâtiment « torsionnellement souple »
→ analyse modale obligatoire + q réduit

Solutions architecturales contre la torsion :

① Plan en bloc régulier (rectangle, carré) — pas de L, U, T
② Voiles symétriques sur 2 axes orthogonaux
③ Noyau central rigide (cage escalier au centre du plan)
④ Joints sismiques pour séparer un bâtiment en L en 2 rectangles
⑤ Voiles aux 4 façades périphériques (rigidité polaire I_p ↑ ↑)
⑥ Étages réguliers : pas d'étage souple type parking RDC ouvert
⑦ Distribution des masses uniforme (équipements répartis)

Lien avec d'autres modules. Distribution des efforts entre voiles et portiques : RDM 2 E5. Distribution verticale : Contrev. 3. Effet diaphragme : Plancher 3.