La formule d'Euler Ncr = π²EI/Lcr² repose sur l'hypothèse d'un matériau purement élastique. Au-delà de la limite de proportionnalité, le module E n'est plus constant ; la rigidité effective chute. Engesser (1889) proposa de remplacer E par le module tangent Et = dσ/dε. Shanley (1947) montra que l'instabilité s'amorce dès que le module tangent est atteint — même sans inversion de signe de la déformation dans la section. Cette synthèse est codifiée par EC3 §6.3.1 via les courbes de flambement qui intègrent : effet de plasticité (Et), imperfections géométriques initiales, contraintes résiduelles de laminage/soudage.
① Euler (1757) — l'hypothèse fondatrice
N_cr,Euler = π²·E·I / L_cr²
σ_cr,Euler = N_cr/A = π²·E / λ² (λ = L_cr/i, i = √(I/A))
Hypothèses :
— Matériau linéaire élastique (E constant)
— Barre rectiligne, parfaitement droite
— Aucune imperfection géométrique ni contraintes résiduelles
Limite de validité : σ_cr ≤ σ_proportionnel (~ 0,8·f_y pour acier laminé)
→ λ ≥ λ_p = π·√(E/0,8·f_y) ≈ 96 pour S355, ≈ 120 pour S235
② Engesser (1889) — le module tangent E_t
Engesser remarque que dans le domaine plastique, la « rigidité utile » devient
E_t = dσ/dε (module tangent local)
Proposition : remplacer E par E_t dans la formule d'Euler :
σ_cr,Engesser = π²·E_t(σ) / λ²
Limite : c'est une équation implicite (E_t dépend de σ_cr lui-même).
Résolution itérative ou graphique.
Module réduit (Considère, 1891) :
Considère propose une variante avec module réduit E_r combinant E (côté décharge)
et E_t (côté charge) — plus conservatif. Approche abandonnée après Shanley.
③ Shanley (1947) — l'instabilité s'amorce avec E_t seul
Shanley démontre théoriquement et expérimentalement que :
— La bifurcation se produit dès que σ_appliqué = σ_cr,Engesser (module tangent)
— La barre continue de charger dans le mode flexionné
— Tant que σ_appliqué < σ_cr,Considère, aucune fibre ne se décharge
Conséquence : la formule d'Engesser-Shanley est correcte et donne la borne
inférieure (sécuritaire) de la charge critique inélastique.
Référence : Shanley F.R. (1947) « Inelastic column theory »,
Journal of the Aeronautical Sciences, 14(5), 261-268.
④ Eurocode 3 §6.3 — la synthèse pratique moderne
L'EC3 §6.3.1.2 codifie une approche unifiée :
Élancement réduit :
λ̄ = √(N_pl/N_cr,Euler) = √(A·f_y / N_cr) = (λ/π)·√(f_y/E) = λ/λ₁
avec λ₁ = π·√(E/f_y) = 93,9·ε (ε = √(235/f_y))
Formule de réduction χ :
Φ = 0,5·[1 + α·(λ̄ - 0,2) + λ̄²]
χ = 1 / (Φ + √(Φ² - λ̄²)) χ ≤ 1
Capacité finale :
N_b,Rd = χ · A · f_y / γ_M1
Pourquoi 5 courbes ?
Le facteur α intègre :
— Imperfection géométrique initiale (e₀/L = 1/300 à 1/1000)
— Contraintes résiduelles de laminage/soudage
— Sensibilité au mode (axe fort vs faible)
— Type de section (laminé vs reconstitué soudé)
⑤ Tableau de correspondance section ↔ courbe EC3 (Tab 6.2)
| Section | Axe | Limite f_y | Courbe | α |
|---|---|---|---|---|
| Laminés rectangulaires creux | y, z | ≤ 460 MPa | a | 0,21 |
| HE 100-200, IPE | y-y | ≤ 460 MPa | a | 0,21 |
| HE 100-200, IPE | z-z | ≤ 460 MPa | b | 0,34 |
| HE 220-400 | y-y | ≤ 460 MPa | b | 0,34 |
| HE 220-400 | z-z | ≤ 460 MPa | c | 0,49 |
| Sections en U, T, L | — | ≤ 460 MPa | c | 0,49 |
| Soudés t ≤ 40 mm | y | ≤ 460 MPa | b | 0,34 |
| Soudés t ≤ 40 mm | z | ≤ 460 MPa | c | 0,49 |
| Soudés t > 40 mm | — | ≤ 460 MPa | c ou d | 0,49-0,76 |
| Hauts grades S460-S690 | — | — | a₀ ou a | 0,13-0,21 |
⑥ Démarche pratique de vérification
Étape 1 : choix L_cr selon liaisons (β·L)
— Bi-articulé : β = 1
— Encastré-libre : β = 2
— Encastré-articulé : β = 0,7
— Bi-encastré : β = 0,5
Étape 2 : élancement géométrique
λ = L_cr / i_min
Étape 3 : élancement réduit
λ̄ = (λ/93,9)·√(f_y/235) = λ·ε/93,9
Étape 4 : lecture de la courbe
Identifier la courbe (a₀, a, b, c, d) selon section + axe
Calculer χ = f(λ̄, α)
Étape 5 : capacité
N_b,Rd = χ · A · f_y / γ_M1
Vérification : N_Ed ≤ N_b,Rd
⑦ Pourquoi Euler donne des résultats trop optimistes pour λ modéré
Pour S355 et λ = 60 (poteau moyen R+1) :
σ_cr,Euler = π² · 210 000 / 60² = 575 MPa
→ > f_y = 355 MPa
→ Euler prédit que la barre cèdera par plastification PURE, pas par flambement
→ MAIS la barre cède plus tôt à cause :
— des imperfections géométriques (e₀/L ≈ 1/500)
— des contraintes résiduelles de laminage (σ_res ≈ 0,3·f_y)
— du module tangent qui chute dès σ ≈ 0,8·f_y
EC3 courbe b (HEA z-z) : χ = 0,69 → N_b = 0,69 · A · f_y
Conclusion : la formule d'Euler ne s'applique strictement qu'à λ > λ_p ≈ 96.
Dans l'intervalle 20 < λ < 96, c'est la courbe EC3 qui gouverne.
⑧ Le « plateau » à λ̄ ≤ 0,2 — la zone trapue
Pour λ̄ ≤ 0,2 (barres très courtes ou massives) :
χ = 1 → aucune réduction par flambement
N_b,Rd = N_pl,Rd = A·f_y/γ_M1
Domaine typique :
λ < 20 pour S355
Poteau court H ≤ 1 m sur HEA 200 (i_z ≈ 5 cm) → λ_z ≈ 20 → λ̄ ≈ 0,25
Mais attention au voilement local (Module 1) qui peut intervenir même pour barre courte !
⑨ Limites historiques et perspectives
1757 — Euler : élastique parfait
1889 — Engesser : module tangent E_t (proposition)
1891 — Considère : module réduit E_r (corrigeant Engesser, trop conservatif)
1947 — Shanley : démonstration que E_t suffit (bifurcation sans décharge)
1976 — ECCS : 5 courbes européennes consolidées (Maquoi-Rondal)
1992 — Eurocode 3 : codification définitive
Évolutions actuelles :
— GMNIA (analyse non-linéaire géométrique + matérielle + imperfections)
— Approche en éléments finis avec lois de comportement réelles
— Probabiliste : effets des dispersions sur χ
Lien avec autres modules. Module 1 — 3 instabilités pose la distinction flambement/déversement/voilement. Module 3 — Bažant traite l'effet d'échelle (autre source de non-validité de l'analyse classique).