L'intuition de calcul classique — « la contrainte de ruine est une propriété du matériau, donc indépendante de la taille » — est fausse pour les matériaux quasi-fragiles (béton, roche, céramique, glace, composite). Zdenek Bažant a démontré dans les années 1980 que la résistance nominale σN d'une structure géométriquement similaire décroît avec sa taille caractéristique D selon une loi asymptotique qui s'écarte autant de la résistance des matériaux classique (σ_N = cste) que de la mécanique de la rupture LEFM (σ_N ∝ D-1/2). La loi de taille de Bažant (Size Effect Law, SEL, 1984) est la transition entre ces deux extrêmes. Cette physique explique pourquoi l'EC2 §6.2.2 introduit le facteur k = 1 + √(200/d) (avec d en mm) qui réduit VRd,c pour les grandes poutres — c'est l'effet d'échelle implicite.
① Pourquoi un matériau quasi-fragile présente un effet d'échelle
La rupture d'un béton (ou roche, céramique) se produit par localisation progressive
des microfissures dans une zone de procès (Fracture Process Zone, FPZ).
La FPZ a une taille caractéristique l_p indépendante de la structure :
l_p ≈ 2-5 fois la taille du plus gros granulat (béton)
l_p ≈ 30-200 mm pour béton ordinaire
Petite structure (D ∼ l_p) :
FPZ occupe une fraction significative du ligament → comportement ductile
Résistance ≈ résistance plastique du matériau (RDM)
σ_N ≈ cste
Grande structure (D ≫ l_p) :
FPZ devient négligeable devant le ligament → comportement fragile
Résistance gouvernée par K_Ic (LEFM)
σ_N ∝ K_Ic / √(π·a) → σ_N ∝ D^(-1/2)
Transition : la loi de taille SEL.
② Loi de taille de Bažant (SEL, 1984)
Formule classique de Bažant :
σ_N = B·f_t / √(1 + D/D₀)
où :
— B = constante adimensionnelle (≈ 1 à 2 selon géométrie)
— f_t = résistance en traction du matériau (f_ctm pour béton)
— D = taille caractéristique de la structure (hauteur poutre, épaisseur dalle)
— D₀ = taille de transition (≈ longueur de Hillerborg / facteur géométrique)
Asymptotes :
— D ≪ D₀ : σ_N → B·f_t (régime RDM, indépendant de D)
— D ≫ D₀ : σ_N ∝ 1/√D (régime LEFM, pente -1/2 en log-log)
Représentation log-log :
log(σ_N) vs log(D) montre clairement la transition à D ≈ D₀.
Référence : Bažant Z.P. (1984) « Size effect in blunt fracture: concrete, rock, metal »,
Journal of Engineering Mechanics, ASCE, 110(4), 518-535.
③ Eurocode 2 — l'effet d'échelle codifié dans V_Rd,c (§6.2.2)
Formule EC2 §6.2.2(1) pour cisaillement de poutres BA sans armatures transversales :
V_Rd,c = [C_Rd,c · k · (100·ρ_l·f_ck)^(1/3) + k₁·σ_cp] · b_w · d
avec C_Rd,c = 0,18 / γ_C
Facteur d'échelle k :
k = 1 + √(200/d) ≤ 2,0 (d en mm)
Lecture :
— d = 50 mm (très petit) → k = 1 + √4 = 3,0, plafonné à 2,0 → k = 2,0
— d = 200 mm → k = 1 + √1 = 2,0 → k = 2,0 (encore plafonné)
— d = 500 mm → k = 1 + √0,4 = 1,632
— d = 1000 mm → k = 1 + √0,2 = 1,447
— d = 2000 mm → k = 1 + √0,1 = 1,316
Effet pratique : doubler la hauteur d'une poutre BA réduit V_Rd,c par mm²
d'environ 10-15 % à cause de l'effet d'échelle !
④ Tableau du facteur k EC2 selon hauteur utile d
| d (mm) | k = 1+√(200/d) | k retenu (≤2) | V_Rd,c/d (relatif) |
|---|---|---|---|
| 100 | 2,414 | 2,000 | 1,00 |
| 200 | 2,000 | 2,000 | 1,00 |
| 300 | 1,816 | 1,816 | 0,91 |
| 500 | 1,632 | 1,632 | 0,82 |
| 750 | 1,516 | 1,516 | 0,76 |
| 1000 | 1,447 | 1,447 | 0,72 |
| 1500 | 1,365 | 1,365 | 0,68 |
| 2000 | 1,316 | 1,316 | 0,66 |
| 3000 | 1,258 | 1,258 | 0,63 |
⑤ EC2 et le poinçonnement (§6.4)
Le poinçonnement (force concentrée sur dalle) suit la même logique :
v_Rd,c = C_Rd,c · k · (100·ρ_l·f_ck)^(1/3)
avec le même k = 1 + √(200/d) ≤ 2,0
Pour grandes dalles (radier, dallage industriel) :
d ≥ 500 mm → k ≤ 1,63 → résistance par mm² réduite de ~ 20 %
C'est pourquoi les radiers très épais doivent être armés pour le poinçonnement
même quand les calculs « manuels » sans facteur k indiqueraient l'inverse.
Cas typique : poteau d'IGH sur radier de 1,5 m d'épaisseur, force 8 MN
→ la résistance au poinçonnement par mm² est de 35 % inférieure à un radier de 0,2 m
(à f_ck égal et ρ_l égal).
⑥ Vérification expérimentale (essais Bažant et autres)
Bažant et ses élèves (Northwestern University) ont conduit des essais sur poutres
géométriquement similaires d'échelles variables :
— Béton ordinaire (f_c = 30 MPa) : ratios d'échelle 1:1, 1:2, 1:4, 1:8, 1:16
— Mesure de σ_N à la rupture (cisaillement, flexion, traction)
— Confirmation de la loi SEL avec D₀ ≈ 100-400 mm selon configuration
Autres séries d'essais validant :
— Walraven (Delft, 1980s) : poutres BA cisaillement
— Shioya et al. (Japon, 1989) : poutres profondes
— Hallgren (Suède, 1996) : dalles poinçonnement
— fib Model Code 2010 §7.3 reprend explicitement ces résultats
⑦ Conséquences pour le calcul d'ingénieur
⚠ Ne pas extrapoler des essais sur petites éprouvettes à grande échelle sans correction.
⚠ L'effet d'échelle est inverse au temps :
— Petite poutre : se rompt avec faible énergie de rupture (mais haute σ_N)
— Grande poutre : se rompt avec haute énergie mais faible σ_N
⚠ Effet inverse en flexion (faible) vs en cisaillement (très significatif).
⚠ Coefficients de sécurité EC2 calibrés pour des tailles « normales »
(d ≈ 200-800 mm) — pour très grandes structures, recours à fib MC 2010 ou ACI 318 §22.
⚠ Pour structures massives (barrages, fondations très épaisses), recours à
analyses non-linéaires explicites avec lois cohésives type Hillerborg.
⑧ Limites de la SEL et perspectives
La SEL classique présente certaines limites :
— Valide pour matériaux quasi-fragiles (béton, mortier, roche, céramique)
— Ne s'applique pas aux matériaux ductiles (acier) qui plastifient avant fissuration
— Ne s'applique pas aux matériaux fragiles purs (verre, où LEFM directe)
Extensions modernes :
— Type I (Bažant 2002) : pour rupture en initiation (poinçonnement)
— Modèles statistiques (Weibull modifié, Bažant-Le)
— Effet d'échelle énergétique (Energetic Size Effect Law)
Référence essentielle :
Bažant Z.P. & Planas J. (1998) « Fracture and Size Effect in Concrete
and Other Quasibrittle Materials », CRC Press.
⑨ Application pratique — comparaison radier 300 mm vs 1500 mm
Radier R+10 (poteau central de transfert) :
Variante A : épaisseur 300 mm, d ≈ 250 mm
k_A = 1 + √(200/250) = 1,894
v_Rd,c ≈ 0,98 MPa (C30/37, ρ_l = 1 %)
Variante B : épaisseur 1500 mm, d ≈ 1450 mm
k_B = 1 + √(200/1450) = 1,371
v_Rd,c ≈ 0,71 MPa (mêmes paramètres)
Ratio B/A = 0,72 → la résistance par mm² du radier épais est 28 % inférieure
Le radier doit être armé pour le poinçonnement même si « il est gros »
Lien avec autres modules. Module 1 — 3 instabilités et Module 2 — Euler vs Engesser-Shanley traitent les autres pièges de la mécanique classique appliquée à grande échelle.