Dans un bâtiment soumis à un effort horizontal (vent EC1-1-4 ou séisme EC8), l'effort total H se distribue entre les différents éléments de contreventement au prorata de leur rigidité K_i. Un voile BA de section 50 × 250 cm est typiquement 20 à 50 fois plus rigide qu'un portique BA équivalent ; il absorbe donc l'essentiel de l'effort. Cette animation explore la répartition d'effort entre voiles (raideur en flexion + cisaillement) et portiques (raideur en flexion locale poteau-poutre), et illustre comment un bâtiment réel se contrevente. Conventions du cours : N > 0 = COMPRESSION, M > 0 = fibre inférieure tendue.
Principe de base — répartition au prorata de la rigidité. Si N éléments de contreventement sont disposés en parallèle (même déplacement de tête imposé), l'effort total H se répartit selon :
H_i = H · K_i / Σ K_j
avec K_i = rigidité de l'élément i en kN/m (force/déplacement)
Hypothèses :
① Diaphragme rigide : les planchers transmettent l'effort à tous les voiles/portiques sans déformation
② Tous les éléments subissent le même déplacement de tête
③ Pas d'effet de torsion (centre de masse aligné au centre de rigidité)
Rigidité d'un voile en console encastré — combinaison flexion + cisaillement :
K_voile = 1 / (δ_flexion + δ_cisaillement)
Pour une force F en tête, voile h_v de hauteur, L_v en plan, épaisseur e_v :
δ_flexion = F · h_v³ / (3 · E · I_v)
avec I_v = e_v · L_v³ / 12
δ_cisaillement = F · h_v / (G · A_red)
avec G = E / 2,4 (béton), A_red = 5/6 · L_v · e_v
Donc K_voile (en kN/m) :
K_voile = 1 / [(h_v³ / (3·E·I_v)) + (h_v / (G·A_red))]
Pour h_v = 9 m (R+3), E = 33 000 MPa, voile 2,5 m × 18 cm :
I_v = 0,18 × 2,5³ / 12 = 0,235 m⁴
δ_flexion = 1 × 9³ / (3 × 33 × 10⁹ × 0,235) = 31 mm/MN
δ_cisaillement = 1 × 9 / (33/2,4 × 10⁹ × 5/6 × 2,5 × 0,18) = 0,67 mm/MN
K_voile = 1 / 31,7e-6 = 31,5 MN/m
Rigidité d'un portique — méthode des facteurs D. Selon la méthode classique du « facteur de distribution D » (méthode de Muto, Japon 1965, encore standard pour pré-dimensionnement) :
K_portique = 12 · E · I_c / h³ · 2 · (1 + k_poutre/k_poteau)/(2 + k_poutre/k_poteau)
Avec :
I_c = inertie poteau (rectangulaire 30 × 30 cm typique → I_c = 0,000 675 m⁴)
h = hauteur étage
k_poutre, k_poteau = raideurs I/L respectives
Pour portique BA standard h = 3 m, poteau 30×30, poutre 25×50, L_travée = 5 m :
k_p_poteau = I/L = 6,75e-4 / 3 = 2,25e-4
k_p_poutre = (0,25 × 0,5³/12) / 5 = 5,2e-4
D ≈ (12 × 33e9 × 6,75e-4) / 27 × correction = ~ 1,5 MN/m par portique
Rapport voile / portique — un facteur 20 à 50 :
K_voile / K_portique = 31,5 / 1,5 = 21 fois
Conséquence : même avec très peu de voiles, ils absorbent l'essentiel de l'effort.
Pour le contreventement EC8 d'un bâtiment courant, on retient en pratique :
— Voile principal : 80-90 % de l'effort sismique
— Portique périphérique : 10-20 % résiduel
Conséquence parasismique : c'est le voile qui « tient » le bâtiment.
Une seule rupture de voile peut être catastrophique → c'est l'objet des règles EC8 §5.
Les portiques jouent un rôle secondaire mais redondant (alternative load path).
Disposition en plan et torsion. Si le centre de masse C_M (où s'applique l'effort horizontal) et le centre de rigidité C_R (barycentre pondéré par K_i des voiles/portiques) ne coïncident pas, un moment de torsion apparaît :
M_t = H · e (avec e = distance C_M / C_R)
Conséquence : chaque voile reçoit un effort supplémentaire selon sa position :
H_i = H · K_i / Σ K_j + M_t · K_i · d_i / I_p
avec d_i = distance voile i au C_R
I_p = Σ K_i · d_i² (« inertie polaire de contreventement »)
Règle d'or EC8 §5 : positionner les voiles de manière symétrique en plan
pour éviter l'excentricité résiduelle (e < 5 % de la dimension du bâti).
Cas problématiques typiques :
— Voiles concentrés en cage d'escalier centrale → C_R au centre, OK
— Voiles uniquement en pignon (pas en façades) → torsion forte sous vent latéral
— Bâtiment en L ou U → C_R souvent excentré → renforcement requis
Effet d'élancement du voile (rapport h_v / L_v) :
| Élancement h_v / L_v | Comportement | Mode de rupture critique |
|---|---|---|
| < 1 (voile court) | Cisaillement dominant | Cisaillement diagonal — ductilité faible |
| 1-2 (voile mi-élancé) | Mixte cisaillement + flexion | Cisaillement local en zone critique |
| 2-4 (voile élancé) | Flexion dominante | Plastification armatures verticales en pied — ductilité élevée |
| > 4 (voile très élancé) | Cantilever pur | Concentration moment en pied + risque flambement |
Dispositions constructives EC8 §5 pour voiles BA en zone sismique :
① Épaisseur minimale : 15 cm (rural), 20 cm (zone sismique 4-5)
② Armature verticale minimale : ρ_v ≥ 0,4 % (chacune des faces)
③ Armature horizontale (couture) : ρ_h ≥ 0,25 %
④ Zone critique en pied (hauteur ≈ L_v) : armature renforcée + ductilité
⑤ Confinement des bords : cadres rapprochés (espacement 7,5 cm)
⑥ Continuité armatures sur toute la hauteur (pas de coupures non recouvertes)
Cas particulier — cage d'escalier-ascenseur comme noyau. Dans la plupart des bâtiments R+3 à R+10 en France, le contreventement principal est assuré par la cage d'escalier-ascenseur en BA qui constitue un noyau centralisé. Avantages :
① Très grande rigidité par effet 3D (caisson fermé)
② Position centrale = C_R au centre = pas de torsion
③ Coexistence des fonctions structurelle et circulation verticale
④ Continuité verticale facile (gaines techniques)
⑤ Compartimentage feu naturel
Limites :
— Trous (portes d'ascenseur, paliers d'escalier) réduisent rigidité de 20-40 %
— Section en U ou L (couloir asymétrique) crée excentricité
— Vérifier le contreventement local des planchers de chaque étage
Lien avec d'autres modules. Cas E1 (portique sous vent) et module Parasismique (EC8). Le concept de rigidité de contreventement est central en parasismique : c'est la base du capacity design. Conventions du cours : N > 0 = compression, M > 0 = fibre inférieure tendue.