Premier cas pratique bâtiment. Un portique R+n (n étages réguliers) est soumis à une charge horizontale distribuée (vent EC1-1-4). Deux modes de comportement coexistent : (1) effet cantilever — le bâtiment travaille comme une console verticale encastrée au sol, les poteaux extrêmes reçoivent un effort normal de flexion globale ; (2) effet portique — à chaque niveau, les poutres et poteaux travaillent en flexion locale par effet de cadre. La proportion de chaque effet dépend de l'élancement H/L et de la rigidité relative des poutres et poteaux. Conventions du cours : N > 0 = COMPRESSION, M > 0 = fibre inférieure tendue, V = dM/dx.
Calcul du moment global de flexion. Le portique est traité comme une console encastrée en pied. Si w (kN/m) = charge horizontale uniforme par mètre de hauteur :
M_global(z=0) = w · H² / 2 (en pied de bâtiment)
V_global(z=0) = w · H (effort tranchant total à la base)
avec H = N · h (hauteur totale du bâtiment)
Effet cantilever — flexion globale. Le moment global se traduit par un couple :
N_poteau,extrême = ± M_global / L (compression côté vent, traction côté sous le vent)
Exemple R+5 (H = 15 m), L = 5 m, w = 6 kN/m :
M_global = 6 × 15² / 2 = 675 kNm
N_extrême = ± 675 / 5 = ± 135 kN (à ajouter à la compression de poids propre)
Effet portique — flexion locale (méthode du point de contraflexure). Le tranchant de chaque étage se répartit entre les poteaux. Sous l'hypothèse de point de contraflexure à mi-portée des poutres et à mi-hauteur des poteaux (méthode approchée) :
V_poteau,étage i = V_global(z_i) / N_poteaux
M_poteau,sommet/pied = V_poteau · h / 2
M_poutre = somme des M_poteaux entrant au nœud / 2
Plus le rapport I_poutre/I_poteau est grand (poutres raides), plus l'effet portique
est marqué : la déformée se rapproche d'une courbure cantilever pure.
Vérification déplacement en tête (drift). Eurocode 0 §A1.4.3 :
δ_tête ≤ H / 500 (cas courant ELS confort)
δ_tête ≤ H / 250 (cas IGH avec dispositions parasismiques)
δ_cantilever = w · H⁴ / (8 · E · I_eq)
avec I_eq = Σ I_poteaux + Σ (A_poteau · d²) (théorème de Huygens)
Quand l'effet cantilever domine vs effet portique :
| Élancement H/L | Comportement dominant | Type structurel |
|---|---|---|
| H/L < 3 | Effet portique pur | Bâtiment courant R+3 à R+5 |
| 3 ≤ H/L ≤ 7 | Mixte cantilever + portique | Bâtiment R+8 à R+15 |
| H/L > 7 | Cantilever dominant | IGH (tube, méga-portique) |
Solutions pour réduire le drift d'un bâtiment de grande hauteur :
① Voiles de contreventement (béton armé) — rigidité multipliée par 5-10×
② Noyau central rigide (cage d'escalier en BA) → comportement tube central
③ Contreventement triangulé (croix de St-André) — gain de rigidité par effet treillis
④ Tube périphérique (Pruitt-Igoe, World Trade Center) — poteaux serrés en façade
⑤ Méga-portique (Citicorp NYC, HSBC Hong Kong) — éléments de très grande inertie
⑥ Outriggers (ceintures rigides à mi-hauteur) — couple le tube central aux poteaux extrêmes
Lien avec le cours. Préparation directe au TD sur le portique bi-encastré (Bloc 1). Sert de socle pour le module Parasismique (mode propre fondamental de translation) et pour les études de bâtiments grands ensembles. Conventions du cours : N > 0 = compression, M > 0 = fibre inférieure tendue.