Avant d'aborder l'hyperstatique, les arcs et les treillis, ce module fixe les conventions de signe utilisées dans tout le cours et les relations fondamentales entre charge q, effort tranchant V, et moment fléchissant M. Ces conventions sont essentielles : une erreur de signe au début d'un calcul propage l'erreur jusqu'à la conclusion. Trois règles simples doivent être mémorisées et systématisées avant tout exercice.
| Grandeur | Convention positive | Conséquence physique |
|---|---|---|
| N effort normal | N > 0 ⇔ COMPRESSION | Les forces internes poussent la coupure vers l'extérieur de la section. Convention naturelle pour arcs, voûtes, poteaux, fondations. |
| M moment fléchissant | M > 0 ⇔ fibre inférieure tendue | La poutre fléchit vers le bas (déformée concave vers le bas). La fibre supérieure est comprimée, la fibre inférieure étirée. |
| V effort tranchant | V = dM/dx | L'effort tranchant est la dérivée du moment fléchissant. V s'annule là où M est extremum. |
Note importante : certains manuels internationaux utilisent N > 0 = traction (convention duale). Dans ce cours, on adopte N > 0 = compression, cohérente avec l'étude des arcs et des voûtes où la compression est le mode normal d'effort. Toujours vérifier la convention en début d'énoncé avant tout calcul.
Coupure d'un élément. Considérons une poutre soumise à un chargement quelconque. À l'équilibre statique, on isole une partie de la poutre par une coupure virtuelle à l'abscisse x. Sur la face coupée apparaissent trois efforts internes qui résultent de l'action de la partie « réelle » manquante :
N(x) : effort axial (normal à la section), porté par l'axe neutre
V(x) : effort tranchant (parallèle à la section), dans le plan de la section
M(x) : moment fléchissant (autour de l'axe neutre, perpendiculaire au plan moyen)
Équation locale d'équilibre. Considérons un tronçon infinitésimal de poutre de longueur dx, soumis à une charge répartie q(x) verticale descendante. L'équilibre vertical de ce tronçon s'écrit :
V(x) + q(x)·dx − V(x + dx) = 0
⇒ V(x + dx) − V(x) = q(x)·dx
⇒ dV/dx = q(x) (la dérivée de V est la charge répartie)
L'équilibre des moments autour du point situé à droite du tronçon s'écrit :
M(x + dx) − M(x) − V(x)·dx − q(x)·dx·(dx/2) = 0
Au premier ordre (en négligeant dx²) :
M(x + dx) − M(x) = V(x)·dx
⇒ dM/dx = V(x) (le moment a pour dérivée l'effort tranchant)
Conséquences pratiques de V = dM/dx :
① V = 0 ⇔ M est extremum (maximum ou minimum local). C'est par là qu'on trouve xM_max en pratique.
② Quand V change de signe (passe par zéro), M atteint un extremum (point de tangente horizontale du diagramme M).
③ La pente du diagramme M(x) à l'abscisse x est V(x). Le diagramme M est parabolique si q est uniforme (V linéaire),
linéaire si q nul (V constant), cubique si q linéaire.
Pourquoi N > 0 = compression dans ce cours ? Plusieurs raisons :
① Les arcs et voûtes (objets centraux du cours) sont normalement en compression. Avec N > 0 = compression,
les diagrammes sont positifs partout et les ordres de grandeur sont intuitifs.
② Le béton a une résistance principale en compression. Les contraintes en compression sont positives en EC2.
③ Cohérence avec la géomécanique : convention contraintes de compression positives partout en mécanique des sols (Terzaghi).
④ Cohérence avec la thermodynamique : la pression est positive en compression.
Convention « M > 0 tend la fibre inférieure ». C'est la convention RDM française classique. Elle correspond physiquement au mode usuel de chargement (charges verticales descendantes sur des poutres horizontales), qui crée :
• Fibre supérieure comprimée (σ < 0 si on prend traction positive ; σ > 0 dans notre convention)
• Fibre inférieure tendue (σ > 0 si traction positive ; σ < 0 dans notre convention)
• Déformée concave vers le bas (la poutre fléchit vers le bas)
Pour une charge ponctuelle vers le haut (par exemple une réaction d'appui supplémentaire au milieu d'une poutre), M devient négatif en ce point, signalant que la fibre supérieure est tendue (cas des consoles et des appuis intermédiaires de poutres continues — voir Concept 1 méthode des forces).
Formule classique de la flexion (Navier-Bernoulli). La contrainte normale dans la section vaut :
σ(y) = N/A + M·y/I (convention : y positif vers le haut, axe neutre y = 0)
Avec nos conventions, σ > 0 = compression (analogue à N).
Pour M > 0, on a σ(y > 0) > 0 (compression en haut), σ(y < 0) < 0 (traction en bas). ✓
Quatre cas-types à mémoriser :
| Cas | Vmax | Mmax | Position Mmax |
|---|---|---|---|
| Poutre simple sous q uniforme | qL/2 (aux appuis) | qL²/8 | milieu (V = 0) |
| Poutre simple sous P au milieu | P/2 | PL/4 | milieu |
| Console sous q uniforme | qL (encastrement) | qL²/2 | encastrement |
| Console sous P en bout | P (constant) | PL | encastrement |
Lien avec les modules suivants : ces conventions s'appliquent dans tout le cours. Le Hook 1 (3 portiques) et le Concept 1 (méthode des forces) mobilisent directement V et M. Le Hook 2 (funiculaire) et le Concept 2 (ligne des pressions) reposent sur le fait qu'un arc parfaitement funiculaire a M = 0 partout, donc V = dM/dx = 0 partout, donc N seul subsiste — la compression pure recherchée. Les Concepts 3 et 4 (treillis) sont un cas particulier où M = 0 partout par hypothèse, donc V = 0, et il ne reste que N dans chaque barre (axiale pure).