Alan Jalil — Enseignement — alan.jalil@estp.fr
← Accueil  /  Enseignement — RDM 2  /  Hook 1 — Isostatique vs hyperstatique

Trois portiques comparés — isostatique, hyperstatique simple, hyperstatique multiple

Pour démarrer le cours de RDM 2, comparons côte à côte trois portiques de mêmes section et hauteur, soumis à la même charge latérale F en tête. Seule diffère la condition aux limites de pied. La conséquence sur le diagramme de moment, la déformée et le degré d'hyperstaticité h est saisissante. C'est cette différence qui explique pourquoi un portique hyperstatique est structurellement plus efficace mais plus sensible aux imperfections (tassements, dilatation thermique, retrait du béton).

(a) Console — h = 0 (isostatique)

Encastrement unique au pied
Liaisons internes : 0
Inconnues : 3 (réactions pied)
Équations : 3 (équilibre global)
Degré d'hyperstaticité h = 3 − 3 = 0
Une seule fibre travaille : la console fléchit en cantilever, le moment maximum est à la base (Mmax = F·H). Très grande déformée en tête.

(b) Bi-articulé — h = 0 (isostatique)

Articulations aux deux pieds
Inconnues : 4 (V + H à chaque rotule)
Équations : 3 + 1 (rotule poutre/poteau)
Degré d'hyperstaticité h = 4 − 4 = 0
Les poteaux travaillent ensemble en flexion, la traverse fonctionne comme tirant en compression. Plus rigide qu'une console, mais sensible au mode latéral.

(c) Bi-encastré — h = 3 (hyperstatique)

Encastrements aux deux pieds
Inconnues : 6 (V + H + M à chaque pied)
Équations : 3 (équilibre global)
Degré d'hyperstaticité h = 6 − 3 = 3
Toutes les fibres travaillent. Les moments se redistribuent entre pieds et nœuds. Mmax typiquement 2 à 3 fois plus faible qu'en console pour la même F.
Modifiez F pour visualiser les déformées et moments comparés.

Détermination du degré d'hyperstaticité h

Définition générale :

h = (nombre d'inconnues) − (nombre d'équations d'équilibre)
Pour une structure plane : h = R + 3·n − 3·m − a
avec :
R = nombre de composantes de réaction d'appui (encastrement = 3, rotule = 2, appui simple = 1)
n = nombre de barres rigides
m = nombre de nœuds
a = nombre d'articulations internes (rotules)

Pour les treillis articulés (toutes les barres articulées aux nœuds, charges aux nœuds seulement) :

h = b + r − 2·m
b = nombre de barres, r = nombre de réactions d'appui, m = nombre de nœuds

Interprétation :

h < 0 : mécanisme (structure instable géométriquement)
h = 0 : isostatique (résoluble par les équations d'équilibre seules)
h > 0 : hyperstatique (h équations supplémentaires nécessaires : compatibilité géométrique)

Avantages des structures hyperstatiques :

• Redistribution des efforts : si un nœud plastifie, la structure ne s'effondre pas (cf. capacity design EC8)
• Moments plus faibles à charge égale → sections plus petites, matériau économisé
• Rigidité supérieure → déplacements plus faibles aux ELS
• Robustesse face à la perte locale d'un élément (alternative load path)

Inconvénients :

• Sensibilité aux déformations imposées : tassement différentiel, dilatation thermique, retrait du béton génèrent des efforts internes (qu'un isostatique ne subit pas)
• Calcul plus complexe : nécessite équations de compatibilité (méthode des forces) ou matrice de rigidité (méthode des déplacements)
• Conception détaillée : les nœuds doivent transmettre les moments (assemblages BA ou acier soudé/boulonné spécifique)

Lien avec la suite du cours : le concept suivant (méthode des forces) montre comment lever l'hyperstaticité par coupure et équations de compatibilité. La méthode des déplacements (matrice de rigidité) est l'approche complémentaire utilisée par tous les logiciels de calcul (Robot, Etabs, Code_Aster). Voir aussi le module RDM 1 sur les 3 instabilités (flambement / déversement / voilement) qui couplent hyperstaticité géométrique et matérielle.