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Funiculaire des charges — de la chaîne pesante à l'arc parfait

Tendez horizontalement une chaîne attachée à ses deux extrémités. Sous l'effet de son poids propre uniforme par unité de longueur, elle adopte une courbe précise — la caténaire (chaînette). Cette forme est unique : c'est l'équilibre naturel de la chaîne sous traction pure (pas de moment fléchissant, pas de cisaillement). Que se passe-t-il si l'on inverse cette forme dans l'espace ? On obtient un arc qui supporte le même chargement uniquement par compression pure. Cette intuition géniale d'Antoni Gaudí a permis de concevoir la voûte de la Sagrada Família. C'est le principe fondamental qui ouvre l'étude des arcs.

« To know what is going to happen with the load of a structure, I simply hang it upside down. The shape that gravity naturally gives me is the shape I will use, just inverted. » — Antoni Gaudí, ~1900.

Distribution de charge

Mode de visualisation

[A] Animation chaîne ↓ ↔ arc ↑ — inversion par retournement vertical
[B] Effort normal dans la chaîne / arc — traction pure ↔ compression pure
[C] Effet d'une charge différente — la forme funiculaire change
Sélectionnez le type de chargement et lancez l'animation.

Théorie du funiculaire

Définition. Le funiculaire d'un système de charges est la courbe que prend une chaîne idéale (sans raideur en flexion) chargée par ce système, en équilibre statique. La chaîne ne peut transmettre que la traction dans sa direction tangente locale.

Théorème fondamental. Si l'on inverse la courbe funiculaire dans le plan vertical (réflexion par rapport à l'horizontale du point d'appui), on obtient un arc en compression pure sous le même chargement vertical. Ni traction, ni cisaillement, ni moment fléchissant. C'est l'arc parfait pour ce chargement particulier.

Quatre cas classiques :

① Poids propre uniforme par mètre de chaîne (densité linéique constante) :
   y(x) = (T₀/q)·[cosh(q·x/T₀) − 1] — caténaire (chaînette)
   Exemples : câbles HT, cordes, chaînes pendantes

② Uniforme par mètre horizontal (dalle uniforme suspendue) :
   y(x) = q·x²/(2·H) — parabole
   Exemples : câbles principaux des ponts suspendus, voûtes recevant une dalle plane

③ Charges ponctuelles isolées :
   Polygone funiculaire (segments rectilignes entre charges)
   Exemples : pont à haubans simplifié, ferme triangulée

④ Charge triangulaire (crue de neige, pression hydrostatique) :
   Courbe cubique

Différence parabole vs caténaire. Pour un arc peu fléché (f/L < 1/8), la parabole et la caténaire sont visuellement indiscernables (écart < 1 %). Pour un arc très fléché (cathédrale gothique, f/L > 1/2), l'écart devient sensible :

Caténaire f/L = 0,5 : y(0,5L) ≈ 0,500 L (par définition)
Parabole f/L = 0,5 : y(0,5L) = 0,500 L (mêmes points d'extrémité)
Mais y(0,25L) caténaire ≠ y(0,25L) parabole (~ 2 % différence pour f/L = 0,5)

Conséquence architecturale. Une voûte construite en parabole pour un poids propre uniforme par mètre de longueur développe nécessairement des moments fléchissants secondaires. Gaudí l'avait compris et a utilisé des maquettes à câbles inversées (suspendant des poids correspondant aux étages de la voûte) pour trouver expérimentalement la forme de la Sagrada Família. La même méthode est employée dans le pont du Forth Bridge (1890) et les voûtes de Robert Maillart (XXe).

Lien avec la suite. Le concept suivant montre ce qui se passe quand l'arc n'est pas exactement funiculaire pour le chargement appliqué : la ligne des pressions sort de l'axe de l'arc, des moments apparaissent, et si elle sort des limites du tiers central de la section, la maçonnerie en pied subit des contraintes de traction qu'elle ne peut pas reprendre — effondrement progressif. C'est ce qui explique pourquoi tous les ponts romains en plein cintre ont des piles très massives.