La méthode des nœuds (concept précédent) résout entièrement un treillis nœud par nœud. Mais si l'on veut uniquement l'effort dans une ou deux barres particulières au milieu du treillis, dérouler toute la méthode est fastidieux. La méthode de Ritter (August Ritter, 1862), aussi appelée méthode des sections, contourne ce problème : on coupe le treillis par une section virtuelle traversant les 3 barres d'intérêt, puis on applique les 3 équations d'équilibre (ΣFx, ΣFy, ΣM autour d'un point judicieux) à l'une des deux moitiés. Trois équations, trois inconnues, résolution directe. Cette animation montre la méthode sur une ferme triangulée de 7 nœuds.
Principe. On coupe le treillis par une section virtuelle traversant au plus 3 barres non-concourantes. On isole l'une des deux moitiés et on remplace les barres coupées par leurs efforts axiaux inconnus N1, N2, N3. Ces 3 inconnues + 3 équations d'équilibre du fragment isolé (ΣFx, ΣFy, ΣM autour d'un point) = système 3×3 résoluble directement.
Choix judicieux du point pour ΣM. Si l'on choisit comme centre de moment le nœud où deux des trois barres coupées se rencontrent, ces deux barres disparaissent de ΣM (leur bras de levier = 0). On obtient ainsi une équation à une seule inconnue : la troisième barre. C'est le génie de la méthode de Ritter.
Schéma classique sur treillis à membrures parallèles (poutre triangulée typique de pont ferroviaire) :
Section coupant : 1 barre supérieure (M.S.), 1 barre inférieure (M.I.), 1 diagonale (D)
Pour NM.S. : ΣM au nœud où M.I. et D se rencontrent (en bas)
Pour NM.I. : ΣM au nœud où M.S. et D se rencontrent (en haut)
Pour ND : ΣFy (composante verticale isole D, M.S. et M.I. étant horizontales)
Formules opérationnelles pour treillis à membrures horizontales parallèles, distantes de H, charges uniformes par nœud P, n nœuds porteurs entre appuis. Pour une section après le k-ième nœud :
Moment fléchissant équivalent : M(x) = RA·x − P·(somme des nœuds traversés)
Effort tranchant équivalent : V(x) = RA − P·k
Membrure supérieure : NM.S. = −M(x) / H (compression si M > 0)
Membrure inférieure : NM.I. = +M(x) / H (traction)
Diagonale : ND = V(x) / sin(α) (selon orientation : traction ou compression)
On retrouve donc une analogie poutre fléchie : la membrure supérieure subit la compression maximale au milieu (où M maxi), la membrure inférieure la traction maximale au milieu, et les diagonales le cisaillement maximum aux appuis (où V maxi). Cette analogie est précieuse en avant-projet pour dimensionner rapidement les sections.
Pourquoi pas plus de 3 barres coupées ? Avec 3 équations d'équilibre seulement, on ne peut résoudre que 3 inconnues. Si la section coupe 4 barres, on a un système sous-déterminé. Exception : si deux des barres coupées sont parallèles (même direction), elles n'apparaissent ensemble que dans une équation (ΣF dans la direction perpendiculaire) et la méthode reste résoluble. Cette astuce sert pour les treillis K et X.
Exemple historique. La Tour Eiffel (1889) a été calculée par Maurice Koechlin (collaborateur d'Eiffel) avec la méthode des sections. Les efforts dans les pièces principales des piliers ont été déterminés à la main, quelques mois de calcul pour ~ 18 000 pièces. Sans ordinateur.
Lien avec la suite. La méthode des nœuds (concept précédent) et la méthode de Ritter (présent module) sont les deux méthodes manuelles de résolution des treillis isostatiques. Pour les treillis hyperstatiques, on revient à la méthode des forces (concept 1) ou des déplacements. Tous les logiciels EF (Robot, Etabs, RFEM, OpenSees) utilisent la méthode des déplacements généralisée.