Un treillis est une structure formée de barres rectilignes articulées à leurs extrémités (nœuds), chargée uniquement aux nœuds. Sous ces hypothèses, chaque barre est soumise à un effort axial pur (traction ou compression), pas de flexion. C'est cette propriété qui rend les treillis si efficaces : le matériau est utilisé en compression/traction (sa direction de résistance maximale), pas en flexion (où il est sous-utilisé). La méthode des nœuds consiste à appliquer les deux équations d'équilibre (ΣFx = 0, ΣFy = 0) à chaque nœud successivement, en partant de ceux où il y a au plus deux inconnues. Cette animation déroule la méthode nœud par nœud sur une ferme triangulée de pont.
Hypothèses du treillis idéal :
① Barres rectilignes, prismatiques, articulées à leurs extrémités
② Charges appliquées uniquement aux nœuds (pas de charge entre nœuds)
③ Poids propre négligeable, ou réparti aux nœuds extrêmes
④ Pas de moment fléchissant aux nœuds (articulations parfaites)
⇒ Chaque barre est en effort axial pur N (traction positive ou compression négative)
Vérification de l'isostaticité avant d'appliquer la méthode :
Pour un treillis plan : h = b + r − 2·m
avec b = nb de barres, r = nb de réactions d'appui, m = nb de nœuds
h = 0 : isostatique → méthode des nœuds applicable
h > 0 : hyperstatique → méthode des forces ou des déplacements (cf. concepts précédents)
h < 0 : mécanisme (instable) → modification géométrie nécessaire
Algorithme de la méthode des nœuds :
Étape 1 — Calculer les réactions d'appui par équilibre global de la structure.
Étape 2 — Repérer un nœud avec au plus 2 barres inconnues (en général un appui).
Étape 3 — Isoler ce nœud, écrire ΣFx = 0 et ΣFy = 0.
Étape 4 — Résoudre les 2 inconnues. Signe positif = traction, négatif = compression.
Étape 5 — Reporter les efforts trouvés sur les barres adjacentes.
Étape 6 — Passer au nœud suivant ayant ≤ 2 inconnues. Répéter jusqu'à toutes les barres.
Polygone des forces (méthode graphique). En chaque nœud, les forces appliquées (charges externes + tensions des barres adjacentes) doivent former un polygone fermé. Si on connaît la direction de chaque barre et la charge extérieure, on construit graphiquement le polygone : les inconnues sont les longueurs des vecteurs correspondants aux barres. La méthode graphique de Cremona (1872) systématise cette approche — encore utile pour les vérifications rapides.
Convention de signes (cours) :
Les barres en traction tirent le nœud (force orientée vers l'extérieur du nœud) → N > 0
Les barres en compression poussent le nœud (force orientée vers l'intérieur du nœud) → N < 0
Différents types de treillis :
• Warren (triangles équilatéraux alternés) : économique, diagonales alternativement comprimées et tendues.
• Pratt (diagonales descendant vers le centre) : sous charge gravitaire, diagonales en traction.
Avantage : l'acier est mieux utilisé en traction qu'en compression (pas de flambement). Standard pour ponts ferroviaires.
• Howe (diagonales montant vers le centre) : diagonales en compression. Historiquement utilisé en bois
car le bois résiste mieux en compression qu'en traction sous une assemblage simple.
Cas pédagogique : ferme de pont triangulaire. L'exemple animé est un treillis simple à 5 nœuds (2 appuis, 2 nœuds inférieurs porteurs, 1 nœud supérieur). h = b + r − 2m = 7 + 3 − 2·5 = 0 (isostatique).
Lien avec la suite : le concept suivant utilise la méthode de Ritter (méthode des sections) qui permet de calculer directement l'effort dans une barre sans passer par tous les nœuds intermédiaires. Très utile en revue rapide.