Alan Jalil — Enseignement — alan.jalil@estp.fr
← Accueil  /  Enseignement — RDM 2  /  Concept 1 — Méthode des forces

Méthode des forces — poutre continue à deux travées

Comment résoudre un système hyperstatique de degré 1 ? La méthode des forces (ou méthode des coupures, ou méthode de Müller-Breslau) est la technique fondamentale : on libère une des liaisons surabondantes pour retrouver un système isostatique de référence, on calcule l'effet de la charge réelle sur ce système (déformée δ10), puis l'effet d'une force unité appliquée à l'endroit libéré (souplesse δ11), et enfin l'équation de compatibilité géométrique impose que la liaison réelle ne se déplace pas. Cette animation illustre la méthode sur une poutre continue à deux travées égales sous charge répartie.

Paramètres

Étape pédagogique

[A] Système hyperstatique → choix de la coupure (inconnue X = réaction d'appui central)
[B] Effets séparés : M₀(x) sous charge réelle, m₁(x) sous force unité
[C] Solution combinée — diagramme de moment de la structure hyperstatique réelle
δ10 (mm)
0
δ11 (mm/kN)
0
X = RB (kN)
0
RA (kN)
0
RC (kN)
0
MB appui (kN·m)
0
Mmax travée (kN·m)
0
Ratio M_B/M_max
0
Sélectionnez l'étape pédagogique.

Détail de la méthode des forces

Système réel : poutre continue à 2 travées de longueur L, simplement appuyée aux points A, B, C. Trois appuis, soit 3 réactions verticales, mais seulement 2 équations d'équilibre indépendantes (ΣFy, ΣM autour de A). Donc h = 3 − 2 = 1 (hyperstatique de degré 1).

Étape 1 — Choix du système isostatique de base S₀. On libère la réaction d'appui central RB. La poutre devient simplement appuyée AC sur 2L. L'inconnue surabondante est X = RB.

Étape 2 — Système S₀ sous charge réelle q. Calcul de la flèche en B (point libéré) :

δ10 = 5 q (2L)4 / (384 EI) = 5 q L⁴ / (24 EI)   (flèche au centre d'une poutre simple)

Étape 3 — Système S₀ sous force unité X = 1 au point B. Calcul de la flèche en B :

δ11 = 1 · (2L)3 / (48 EI) = L³ / (6 EI)   (flèche au centre sous charge ponctuelle)

Étape 4 — Équation de compatibilité. En réalité l'appui B existe et empêche la flèche en B :

δ10 + X · δ11 = 0
⇒ X = RB = −δ10 / δ11 = −(5qL⁴/24EI) / (L³/6EI) = − 5qL/4

(Signe négatif = la réaction RB est dirigée vers le haut, comme attendu pour un appui sous charge descendante. En valeur absolue : RB = 5qL/4. On en déduit RA = RC = 3qL/8.)

Diagramme final de moment :

Moment maximum en travée : Mmax ≈ 9·qL² / 128  (à x = 3L/8 de chaque appui d'extrémité)
Moment maximum sur appui central : MB = −qL² / 8

Insight pédagogique : sur une poutre continue à 2 travées, le moment en travée est plus faible qu'une poutre simple isostatique (qL²/8 → 9qL²/128 = 0,070 qL² au lieu de 0,125 qL²), au prix d'un moment sur appui central négatif de qL²/8. C'est le compromis fondamental de l'hyperstaticité : redistribution des moments des travées vers les appuis. Conséquence pratique : aciers supérieurs requis sur appui central.

Généralisation à h > 1 : pour un système hyperstatique de degré h, on coupe h liaisons et on a un système isostatique S₀ avec h inconnues X1, X2, ..., Xh. Le système devient :

[δij] · {X} = −{δi0}
où δij = ∫ mi·mj/EI ds (matrice de souplesse, symétrique par théorème de Maxwell-Betti)
et δi0 = ∫ mi·M0/EI ds (vecteur de souplesse au chargement réel)

Lien avec la suite : la méthode des déplacements (matrice de rigidité [K] · {u} = {F}) est l'approche duale de la méthode des forces. Tous les logiciels EF (Robot, Etabs, RFEM, Code_Aster) utilisent la méthode des déplacements car elle se généralise mieux aux structures 3D et aux modèles éléments finis.