Un arc en pierre ou en brique ne peut transmettre que de la compression. Le matériau résiste très bien à la compression (50-100 MPa pour la pierre, 5-15 MPa pour la maçonnerie), mais sa résistance en traction est négligeable (0,2-1 MPa, et fissuration immédiate). Pour qu'un arc maçonné soit stable, la ligne des pressions — le lieu géométrique des points d'application de la résultante normale dans chaque section — doit rester à l'intérieur du tiers central de la section (règle des e/h < 1/6). Sinon, des fibres en traction apparaissent : fissuration, ouverture des joints, instabilité progressive. Cette animation montre comment la forme de l'arc et la nature de la charge affectent cette ligne des pressions.
Définition. La ligne des pressions (line of thrust ou thrust line) est le lieu géométrique des points d'application de la résultante des efforts internes dans chaque section transversale de l'arc. Elle s'obtient par polygone funiculaire des charges progressivement intégrées le long de l'arc.
Concept de noyau central (cf. RDM 1). Dans une section rectangulaire d'épaisseur h, l'effort normal N appliqué avec une excentricité e par rapport au centre de gravité génère :
σ(y) = N/A ± N·e·y / I = N/A · (1 ± 6·e·y/h²)
σ_max = N/A · (1 + 6·e/h)
σ_min = N/A · (1 − 6·e/h)
Pour que σ_min ≥ 0 (compression seule, pas de traction), il faut |e| ≤ h/6. Le tiers central [−h/6, +h/6] est donc la zone de compression pure.
Application aux arcs maçonnés.
① Si la ligne des pressions reste entièrement dans le tiers central sur toute la longueur de l'arc : compression
pure partout, pas de traction, arc stable indéfiniment.
② Si elle sort du tiers central mais reste dans l'épaisseur de l'arc : fissuration apparente (la maçonnerie
ne reprend pas la traction → des joints s'ouvrent côté traction), mais l'arc reste stable mécaniquement tant que
la résultante reste à l'intérieur de la section.
③ Si elle sort de l'épaisseur de l'arc : basculement de la section → mécanisme à 4 rotules → effondrement.
Théorème de Heyman (1966). Un arc maçonné est stable si et seulement si l'on peut tracer au moins une ligne des pressions entièrement contenue dans l'épaisseur de l'arc. La géométrie de la ligne dépend des points d'application aux pieds (à choisir librement entre l'intrados et l'extrados aux culées). Pour les charges symétriques, on cherche typiquement la ligne minimisant la poussée H0.
Conséquence : pourquoi les ponts romains sont massifs ? Les Romains construisaient en plein cintre circulaire (arc à 180°). Pour un chargement uniforme horizontal (dalle de pont), ce n'est pas la forme funiculaire. La ligne des pressions se rapproche d'une parabole, et sort du tiers central de la section à mi-portée. Pour éviter la fissuration, les ingénieurs romains augmentaient l'épaisseur h jusqu'à ce que la ligne reste contenue. C'est pourquoi le Pont du Gard (Aqueduc de Nîmes, ~ 50 ap. J.-C.) a des piles et des tabliers de 2 à 3 mètres d'épaisseur pour une portée d'arche de seulement 25 m.
Cas pratique : voûte gothique vs voûte romane.
• Voûte romane (plein cintre) : f/L = 0,5. Forme parfaite pour poids propre uniforme par mètre d'arc, mais pas
pour la dalle horizontale. Murs latéraux très épais (jusqu'à 2 m) pour reprendre la poussée H0.
• Voûte gothique (ogive) : f/L = 0,7-1,0. La forte flèche réduit drastiquement H0. Les arcs-boutants
permettent de transmettre la poussée vers l'extérieur, libérant les murs intérieurs pour ouvrir des vitraux immenses.
C'est la révolution structurelle gothique.
Cas modernes. Robert Maillart (1872-1940) a poussé l'art de l'arc en béton armé à son apogée avec des arcs extrêmement minces (h/L < 1/100) en optimisant la forme pour que la ligne des pressions reste centrale. Le Salginatobelbrücke (Suisse, 1930), arc en béton de 90 m de portée et 18 m de flèche, h = 0,8 m seulement, est un chef-d'œuvre. Pour une portée équivalente, un pont romain aurait nécessité h = 4-5 m.
Lien avec la suite. Pour les arcs en treillis (Maillart aussi a fait beaucoup), on revient à un problème classique de treillis isostatique ou hyperstatique — voir les modules suivants sur les treillis.