Un réservoir contenant un liquide soumis à un séisme se comporte comme un système à deux degrés de liberté. Housner (1957, 1963) a montré que la masse de liquide se décompose en : une masse impulsive mi qui suit rigidement la cuve et son support, et une masse convective mc qui « ballotte » (sloshing) avec une période propre très longue (3 à 10 s). Cette décomposition est universellement reprise par EC8-4 Annexe A, API 650 Appendix E et AWWA D100. Le piège classique : la période convective tombe le plus souvent après le plateau du spectre EC8 → la part convective sollicite peu la cuve, mais la hauteur de vague dmax peut excéder 1 m et impose une revanche de sécurité (freeboard) souvent ignorée.
Housner (1957, 1963). La masse de liquide ML = ρL·π·R²·H se sépare en :
mi / ML = tanh(1,732·R/H) / (1,732·R/H) (cylindre vertical)
mc / ML = (0,318·R/H) · tanh(1,84·H/R)
hi / H = 0,375 (sans pression de fond) → hi* / H ≈ 0,5 (avec moment de fond, EC8-4 §A.2.1.4)
hc / H = 1 − [cosh(1,84·H/R) − 1] / [1,84·H/R · sinh(1,84·H/R)]
Tc = 2π · √(R / (1,84·g·tanh(1,84·H/R))) (Housner mode 1)
Période impulsive Ti. Pour une cuve rigide (béton précontraint ancré, cuve enterrée massive), Ti ≈ 0 : la masse impulsive subit l'accélération à la base PGA. Pour une cuve acier soudé flexible (Veletsos-Yang 1977) :
Ti,acier ≈ 2·H·√(ρL·R / (e·Esteel)) · Ci(H/R)
avec Esteel = 200 GPa, Ci ≈ 0,15 (tabulé EC8-4 Table A.2)
Hauteur de vague (sloshing). EC8-4 §A.2.5 et Malhotra (2000) :
dmax ≈ 0,84 · R · Sa,c(Tc) / g (mode 1 anti-symétrique)
Critère de revanche EC8-4 §A.7 : flibre ≥ dmax. À défaut, prévoir bac de rétention ou toit étanche dimensionné aux pressions de claquement (impact roof, formule Kapila-Singh).
Combinaison des efforts. Les modes i et c étant fortement disjoints en fréquence (Tc/Ti > 10 typiquement), on combine en SRSS :
Vb = √[(mi·Sa,i)² + (mc·Sa,c)²]
Mb = √[(mi·Sa,i·hi*)² + (mc·Sa,c·hc*)²]
Spectre EC8-1 Type 1. Construit avec amortissement variable η = √(10/(5+ξ)) ≥ 0,55 (§3.2.2.2). La forte sensibilité de Se à l'amortissement impose des valeurs spécifiques : ξi = 5 % (béton/acier classique), ξc = 0,5 % (sloshing fluide pur — EC8-4 §A.3.2.2 et CCG-1 §4.4.2). Conséquence : Sa,c sera ~ 3× plus grand qu'à 5 %.
Pièges classiques en revue.
① Confondre mi et ML — surdimensionnement de l'ancrage par facteur 3 à 5 sur cuve large.
② Oublier ξc = 0,5 % et utiliser 5 % par défaut — sous-estime dmax d'un facteur 3.
③ Négliger la revanche (freeboard) — débordement, perte de fluide dangereuse (chimie, GNL).
④ Confondre hi (= 0,375·H) et hi* (≈ 0,5·H) — le second inclut le moment du fond et gouverne le renversement.
⑤ Pour cuve acier, ignorer Ti·flexibilité — pour H/R > 1,5, Ti peut entrer dans le plateau spectral (×2 à ×2,5 sur Vb).
⑥ Ne pas vérifier le « elephant foot buckling » à la base (acier mince) ni le décollement « uplift » d'une cuve non-ancrée.
Limites du modèle. Réservoir cylindrique vertical, parois minces, fond plat rigide, liquide incompressible non-visqueux, modes 1 (impulsif + 1er convectif) uniquement. Pour cuves rectangulaires, sphériques, surélevées sur jambes, ou anti-sloshing à baffles : consulter ASCE 7 §15.7 / API 620 / GTM (Guide tank metallurgy) ou recourir à une analyse 3D explicite (LS-DYNA, Abaqus).