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ECHO, deux fondations couplées par les ondes
Une machine qui vibre sur son massif n'agite pas que lui : le sol porte l'onde jusqu'à la fondation voisine, avec un retard de propagation qui fait tourner la phase, des franges de renfort et de creux, et un couplage qui déplace les résonances. Cette feuille calcule la réponse verticale couplée de deux fondations sur demi-espace : le terme croisé sort du noyau de Lamb intégré en nombre d'onde (pôle de Rayleigh compris), les impédances propres de la chaîne des feuilles voisines. Elle rend les amplitudes des deux fondations en fréquence, la transmission, la vitesse reçue par la voisine contre le seuil du projet, et l'effet de l'entraxe. C'est le pendant dynamique de la feuille VOISIN, qui reste le calcul statique de tassements.
Trois contrôles indépendants tournent à chaque calcul, et c'est par eux qu'il faut commencer la lecture. Le référentiel, les méthodes employées et le domaine d'emploi sont donnés plus bas.
Sol
Vitesse au niveau de déformation des vibrations de machine : les petites déformations, donc la géophysique convient.
Fondation source
Fondation voisine
Le seuil est une donnée du projet : confort, équipement sensible ou process, selon ce que porte la fondation voisine.
Référentiel normatif
Cette feuille ne confronte aucune grandeur à une limite réglementaire : la vitesse admissible saisie est une donnée du projet, fixée selon ce que porte la fondation voisine (confort, équipement, process). Toutes les méthodes employées sont signalées hors code ci-dessous. La justification des fondations et le dimensionnement du massif se mènent dans un calcul séparé.
Hors code. Terme croisé. Demi-espace élastique homogène à amortissement hystérétique : flexibilité de surface exacte en nombre d'onde (problème de Lamb, potentiels P et SV, pôle de Rayleigh), intégrée entre les deux emprises prises comme disques équivalents à traction uniforme, réponse moyennée sur le disque récepteur. La partie statique de chaque flexibilité est calculée exactement par quadrature de Boussinesq ; le noyau n'apporte que le complément dynamique, qui décroît vite en nombre d'onde. Impédances propres. Raideurs statiques rectangulaires, coefficient dynamique lisse, amortisseur de rayonnement, hystérétique : la même chaîne que la feuille des fondations de machine. Système. Deux masses couplées par la matrice de souplesse complexe, résolues fréquence par fréquence.
Domaine d'emploi. Mouvement vertical de deux fondations superficielles rigides sur demi-espace homogène, régime harmonique établi, linéaire. Ne sont pas traités, et donc pas justifiés ici : le multicouche (une couche raide ou molle en profondeur change qualitativement la transmission : coupures, ondes guidées), les degrés de liberté horizontaux et de balancement et leurs couplages, l'encastrement des fondations, les tranchées et écrans anti-vibratiles, la réponse des planchers de la structure voisine au-delà de sa fondation, les sources impulsionnelles ou mobiles.
Synthèse aux fréquences qui comptent
Format de texte ECHO, mémento complet
Principe. Une instruction par ligne, le mot-clé d'abord. Une barre oblique en
début de ligne ou précédée d'un blanc ouvre un commentaire. Les valeurs se donnent
en CLE=valeur. Point ou virgule décimale indifféremment. Unités : m, m/s, kg/m³,
t, kN, Hz, mm/s.
TITRE texte libre jusqu'à la fin de la ligne
SOL VS=200 RHO=1900 NU=0.3 XI=5 demi-espace (xi en %)
SOURCE BX=4 BY=3 M=80 F=25 FS=25 emprise, masse, force et
fréquence de service
VOISINE BX=5 BY=5 M=150 D=12 emprise, masse, entraxe
CRITERE VADM=0.1 vitesse admissible (mm/s)
Méthode. Chaque fondation porte sa masse sur son impédance ; le sol les relie par une souplesse croisée calculée sur le noyau exact du demi-espace, fréquence par fréquence. Le facteur d'interaction qui en sort porte à la fois l'atténuation avec la distance et le retard de propagation : sa phase tourne comme ω·d/V_R, et c'est elle qui fabrique les franges. Le système couplé de deux masses est ensuite résolu sous la force harmonique de la machine, et la vitesse reçue par la voisine se confronte au seuil du projet.
Contrôle. Trois recoupements tournent à chaque calcul et s'affichent avant tout résultat : la limite statique du facteur d'interaction contre la solution rigoureuse de référence (la loi fermée des deux disques majore de 5 à 10 %, l'écart est affiché) ; la vitesse de l'onde de Rayleigh extraite du noyau embarqué contre sa fermeture classique ; et l'encadrement : le facteur d'interaction reste sous 1,1 fois sa valeur statique sur tout le balayage, et l'entraxe doublé le divise par deux environ, chiffré.
Conventions de lecture des figures. Les amplitudes sont des modules de régime établi ; le déplacement est positif porté vers le bas, comme le tassement des feuilles voisines. Sur la coupe, l'origine du repère est au centre de la sous-face de la source, x vers la voisine, z vers le bas. Les courbes en fréquence portent la fréquence de service et les résonances couplées ; la planche d'entraxe se lit en enveloppe, les creux d'interférence se déplacent avec la fréquence. Les planches restent blanches dans les deux thèmes.
Limites de lecture. Le calcul est linéaire et homogène : il chiffre la transmission par le sol, pas les chemins de structure (dallage commun, réseau enterré, mitoyenneté) qui court-circuitent parfois la distance. À fréquence fixe, s'éloigner n'aide pas toujours : les franges font osciller la vitesse reçue autour d'une enveloppe décroissante, et c'est l'enveloppe qui doit passer sous le seuil. Le levier le plus sûr reste d'écarter la fréquence de service des résonances couplées.