Sous excitation harmonique à la fréquence propre Ω = ωn, l'oscillateur SDOF n'atteint pas instantanément sa réponse permanente : l'enveloppe croît selon U(t) = U∞·(1 − e−ξωnt), avec un temps de saturation contrôlé par le facteur de qualité Q = 1/(2ξ). Conséquence opérationnelle contre-intuitive : un séisme court (5-7 s, near-fault impulsif) ne fait pas voir à la structure son amplification dynamique nominale DAF = 1/(2ξ). Pour ξ = 2 %, il faut environ 48 cycles (≈ 24 s à T = 0,5 s) pour atteindre 95 % de U∞. Cette durée explique pourquoi un séisme Mw 6 à durée significative D5-95 = 5 s sur sol B est moins pénalisant qu'un séisme Mw 7 à D5-95 = 30 s sur sol D pour une structure peu amortie — résultat invisible sur le spectre de réponse qui suppose un régime permanent atteint.
Équation et solution — SDOF sous F·sin(Ω·t)·H(t) (excitation harmonique démarrée à t=0) avec u(0) = u̇(0) = 0. Pour Ω = ωn (résonance exacte) :
u(t) = U∞·(1 − e−ξωnt·cos(ωDt))·sin(ωnt) + termes transitoires
Enveloppe : E(t) = U∞·(1 − e−ξωnt)
U∞ = F/(2·ξ·k) = DAFperm·Ustat, DAFperm = 1/(2ξ) = Q
Temps de saturation à 95 % : t95 = −ln(0,05)/(ξωn) ≈ 3·T/(2πξ) ≈ 0,48·T/ξ
Nombre de cycles à 95 % : N95 = t95/T ≈ 0,48/ξ ≈ 0,95·Q/π
Ordre de grandeur — Q = 1/(2ξ) :
ξ = 1 % ⇒ Q = 50, N95 = 48 cycles (≈ 24 s à T = 0,5 s)
ξ = 2 % ⇒ Q = 25, N95 = 24 cycles (≈ 12 s à T = 0,5 s)
ξ = 5 % ⇒ Q = 10, N95 = 10 cycles (≈ 5 s à T = 0,5 s)
ξ = 10 % ⇒ Q = 5, N95 = 5 cycles (≈ 2,5 s à T = 0,5 s)
Conséquence sur le spectre de réponse — le spectre élastique EC8 suppose implicitement que chaque oscillateur a atteint sa réponse permanente. Pour des séismes near-fault courts (D5-95 < 5 s), les structures peu amorties (ξ < 2 %, équipements industriels, lignes de tuyauterie) sont sur-dimensionnées par cette approche : leur réponse réelle au pic du spectre n'est jamais atteinte. À l'inverse, pour des séismes longs (subduction Cascadia, Méga-Tohoku M9 → D5-95 = 60-150 s), même les structures fortement amorties atteignent leur régime permanent.
Application BET_STR — correction de durée — Bommer-Martínez-Pereira (2009) et plus récemment Chandramohan-Baker (2016) proposent un facteur de durée à appliquer au spectre, fonction de D5-95 et de ξ. Pour ξ ≤ 2 %, ce facteur peut atteindre 0,7 à 0,85 sur les séismes courts. Le futur EC8 (v2027) prévoit d'intégrer la durée comme paramètre de sélection des accélérogrammes.