L'amortissement de Rayleigh C = α·M + β·K est universellement utilisé dans les codes EF pour l'analyse temporelle des structures multi-DDL : il préserve la base modale orthogonale et offre une paramétrisation à deux constantes. La conséquence souvent ignorée est que l'amortissement modal varie avec la fréquence selon ξn = α/(2ωn) + β·ωn/2 — courbe en « U » avec un minimum à ω* = √(α/β), explosion en 1/ω à basse fréquence (terme α[M]) et en ω à haute fréquence (terme β[K]). En calant ξ à deux modes (typiquement modes 1 et 3), les modes intermédiaires sont sous-amortis mais les modes supérieurs sont massivement sur-amortis — silencieusement, sans message d'erreur. Cette page visualise la courbe ξ(ω) et la position de chaque mode propre d'un bâtiment brochette à 10 étages.
Définition — l'amortissement de Rayleigh combine une contribution massique α·M (frottement aérodynamique, ground motion drag) et une contribution raideur β·K (frottement interne du matériau, hystérétique). Sur la base modale :
Cn = α·Mn + β·Kn = α·Mn + β·ωn²·Mn
ξn = Cn/(2·Mn·ωn) = α/(2ωn) + β·ωn/2
Minimum de ξ(ω) : ξmin = √(α·β) à ωmin = √(α/β)
Calage classique — fixer ξa = ξb = ξcible aux pulsations ωa et ωb :
α = 2·ξcible·ωa·ωb/(ωa+ωb), β = 2·ξcible/(ωa+ωb)
Conséquence cachée — entre ωa et ωb, ξ < ξcible (« vallée » en U). Au-delà de ωb, ξ croît linéairement avec ω : pour ω = 3·ωb, on a typiquement ξ = 2 à 3·ξcible — les modes supérieurs sont sur-amortis. Piège opérationnel : un calcul pushover ou time-history dont les modes 4+ contribuent significativement (effet de torsion, modes verticaux) est faussé sans alerte.
Recommandation BET_STR — toujours tracer la courbe ξ(ω) ET la position des modes propres sur cette courbe avant un calcul EF dynamique. Pour les ouvrages où les modes supérieurs comptent (cheminées élancées, planchers, équipements ICPE), considérer l'amortissement modal direct (méthode de superposition modale, ξ_n imposé) plutôt que Rayleigh.