Un pendule dont le pivot oscille verticalement à la pulsation Ω et l'amplitude a est gouverné par l'équation de Mathieu : θ̈ + ω₀²·(1 − γ·cos(Ω·t))·sin(θ) = 0, avec γ = a·Ω²/g. Contre-intuitif : la résonance principale n'est pas à Ω = ω₀ mais à Ω = 2·ω₀ (résonance paramétrique). À cette fréquence, le pendule pompé verticalement à deux fois sa fréquence propre voit son amplitude croître exponentiellement à partir d'un angle initial infime — c'est le principe de la balançoire d'enfant qui se redresse en pliant les genoux deux fois par cycle. D'autres bandes d'instabilité existent à Ω = 2ω₀/n (n = 1, 2, 3, …), de largeur de plus en plus étroite. Pédagogie BET_STR : les pales d'éoliennes, câbles de pont et radiers de bâtiments sous houle modulée sont sujets à ce phénomène et le calcul modal classique ne le détecte pas.
Équation de Mathieu (pendule à pivot oscillant verticalement) :
θ̈ + 2·ξ·ω₀·θ̇ + ω₀²·(1 − γ·cos(Ω·t))·sin(θ) = 0
Avec γ = a·Ω²/g (paramètre d'excitation), a amplitude verticale du pivot, ω₀ = √(g/L) pulsation propre du pendule. Réduction de la variable τ = Ω·t/2, la forme canonique θ" + (a − 2q·cos(2τ))·θ = 0 fait apparaître les paramètres a = 4ω₀²/Ω² et q = 2γ·ω₀²/Ω² du plan de stabilité d'Ince-Strutt.
Bandes d'instabilité paramétrique (n = 1, 2, 3, …) — la résonance d'ordre n se produit autour de Ω = 2ω₀/n :
Ordre 1 : Ω ≈ 2ω₀ (résonance principale, largeur Δω/ω₀ ≈ γ/2)
Ordre 2 : Ω ≈ ω₀ (largeur ∝ γ², plus étroite)
Ordre 3 : Ω ≈ 2ω₀/3 (largeur ∝ γ³)
…
Croissance exponentielle dans la bande : θ(t) ~ exp(σ·t) avec σ ∝ (γ − γseuil(ξ)). En dehors des bandes, le mouvement reste borné. La courbe critique d'amorçage en présence d'amortissement : γseuil(Ω=2ω₀) ≈ 4·ξ pour ξ << 1.
Applications BET_STR — (i) câbles de pont haubané sous oscillation verticale du tablier (pont d'Erskine 1996, Tacoma révisé) ; (ii) pales d'éoliennes et turbines en rotation sous bafleurs ; (iii) pipelines marins sous houle régulière ; (iv) rocking secondaire d'un radier sous oscillation verticale du sol (mode vertical V couplé au balancement R par instabilité paramétrique). Le calcul modal classique linéaire ne voit pas ce phénomène : il faut au minimum résoudre l'équation de Mathieu, idéalement Hill (excitation périodique non-harmonique).