Le brevet de Frahm (1909) — antérieur de 50 ans à la théorie du TMD de Den Hartog — repose sur un principe simple et contre-intuitif : ajouter une masse couplée par ressort sans amortissement à une structure soumise à une excitation harmonique de fréquence connue. Quand l'absorbeur est accordé exactement à la fréquence d'excitation (ωa = Ω), la force qu'il transmet à la masse principale annule exactement la force extérieure : la masse principale devient parfaitement immobile (anti-résonance). Le prix à payer : deux nouveaux pics de résonance apparaissent de part et d'autre, à des fréquences ωL et ωU telles que ωL·ωU = ω1·ωa. Cette page visualise les trois zones — anti-résonance dans le creux, résonances latérales aux pics — et leur évolution lorsqu'on introduit un amortissement (passage Frahm → Den Hartog).
Système 2-DDL forcé sous F·cos(Ω·t) appliquée à m1 :
m1·ü1 + c1·u̇1 + (k1+ka)·u1 − ca·(u̇2−u̇1) − ka·u2 = F·cos(Ωt)
ma·ü2 + ca·(u̇2−u̇1) + ka·(u2−u1) = 0
Anti-résonance exacte (absorbeur non amorti ca = 0, Ω = ωa) :
|H1(Ω = ωa)| = 0 (la masse primaire reste rigoureusement au repos)
|Xa| = F/ka (absorbeur oscille avec amplitude F/ka, en opposition de phase)
Pics de résonance latéraux (Frahm pur, ξ = 0) — racines du dénominateur Δ(Ω) du système :
(1 − Ω²/ω1²)·(1 − Ω²/ωa²) = μ·Ω²/ω1²
Avec ωa = ω1 : ΩL,U²/ω1² = (1 + μ/2) ± √(μ + μ²/4)
Sécurité pratique — l'absorbeur de Frahm pur (ξ = 0) annule la vibration exactement à une fréquence, mais introduit deux nouveaux pics infinis aux fréquences voisines. Une légère dérive de Ω (régime transitoire, fréquence machine variable, séisme large bande) peut amener la structure dans un pic de résonance pire que la situation initiale. La solution Den Hartog introduit un amortissement ca qui aplatit les deux pics — le creux d'anti-résonance se comble, mais l'amplification globale est plafonnée à √(2/μ+1).
Applications BET_STR — (i) absorbeurs accordés sur machines tournantes (turbines, ventilateurs) à fréquence fixe → Frahm pur idéal ; (ii) roof TMD de bâtiments sismiques (Taipei 101, Citicorp NYC) → Den Hartog amorti car spectre large bande ; (iii) pendules de Stockbridge sur lignes électriques. Le contre-intuitif : on ajoute de la masse pour réduire la vibration — exactement à l'opposé de l'intuition « mieux fixer = plus de raideur ».